Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, OP রেখাংশ স্পর্শ জ্যা EF [গণিত] এর লম্বদ্বিখন্ডক।

উত্তর: মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PE এবং PF দুইটি স্পর্শক। E, F এবং O, P যোগ করি। OP রেখাংশ EF স্পর্শ জ্যাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OP রেখাংশ স্পর্শ জ্যা EF এর লম্বদ্বিখণ্ডক। [চিত্র] প্রমাণঃ ধাপ-১ : [গণিত] এবং [গণিত] এর মধ্যে [গণিত] [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] PE=PF [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান] এবং [গণিত] . [সাধারণ বাহু] [গণিত] [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] ধাপ-২ : [গণিত] ও [গণিত] এ, OE [গণিত] OF [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] OA=OA [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত [গণিত] অন্তর্ভুক্ত [গণিত] [ধাপ (১) হতে] [গণিত] [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] [গণিত] এবং [গণিত] কিন্তু এরা রৈখিক যুগল কোণ হওয়ায় প্রত্যেকেই সমকোণ। [গণিত] সমকোণ [গণিত] বা, [গণিত] যেহেতু [গণিত] এবং [গণিত] সুতরাং OP রেখাংশ স্পর্শ জ্যা EF এর লম্বছিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, OP রেখাংশ স্পর্শ জ্যা EF এর লম্বদ্বিখন্ডক।

উদ্দীপক

(i) O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PQ এবং RS দুইটি জ্যা। OM⊥PQ\mathrm{OM} \perp \mathrm{PQ} এবং ON⊥RS\mathrm{ON} \perp \mathrm{RS}. (ii) O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PE এবং PF দুইটি স্পর্শক।

Dinajpur · 2025

উত্তর

এখানে, বৃত্তের ব্যাস =6=6 সে.মি. ∴\therefore বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r=62\mathrm{r}=\frac{6}{2} সে.মি. =3=3 সে.মি. ∴\therefore বৃত্তের ক্ষেত্রফল =πr2=3.1416×32=\pi \mathrm{r}^2=3.1416 \times 3^2 বর্গ সে.মি. =3.1416×9=3.1416 \times 9 বর্গ সে.মি. =28.274=28.274 বর্গ সে.মি. (প্রায়) নির্ণেয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল 28.274 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQ ও RS দুইটি সমান জ্যা। OM ⊥PQ\perp \mathrm{PQ} এবং ON ⊥\perp RS. প্রমাণ করতে হবে যে, OM=ON\mathrm{OM}=\mathrm{ON}. question image অঙ্কন: O, P এবং O, R যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : OM⊥PQ\mathrm{OM} \perp \mathrm{PQ} এবং ON⊥RS\mathrm{ON} \perp \mathrm{RS}. সুতরাং PM=QM\mathrm{PM}=\mathrm{QM} এবং RN=SN\mathrm{RN}=\mathrm{SN} [: : বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] ∴PM=12PQ\therefore \quad \mathrm{PM}=\frac{1}{2} \mathrm{PQ} এবং RN=12RS\mathrm{RN}=\frac{1}{2} \mathrm{RS} ধাপ-২ : কিন্তু PQ = RS [দেওয়া আছে] বা, 12PQ=12RS\frac{1}{2} P Q=\frac{1}{2} R S ∴PM=RN\therefore \quad \mathrm{PM}=\mathrm{RN} ধাপ-৩ : এখন, △OPM\triangle \mathrm{OPM} এবং △ORN\triangle \mathrm{ORN} সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ OP = অতিভুজ OR [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং PM = RN [ধাপ (২) হতে] ∴△OPM≅△ORN\therefore \quad \triangle \mathrm{OPM} \cong \triangle \mathrm{ORN} [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] ∴OM=ON\therefore \quad \mathrm{OM}=\mathrm{ON}.( প্রমাণিত )

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PE এবং PF দুইটি স্পর্শক। E, F এবং O, P যোগ করি। OP রেখাংশ EF স্পর্শ জ্যাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OP রেখাংশ স্পর্শ জ্যা EF এর লম্বদ্বিখণ্ডক। question image প্রমাণঃ ধাপ-১ : △OEP\triangle \mathrm{OEP} এবং △OFP\triangle \mathrm{OFP} এর মধ্যে OE=OF\mathrm{OE}=\mathrm{OF} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] PE=PF [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান] এবং OP=OP\mathrm{OP}=\mathrm{OP}. [সাধারণ বাহু] ∴△OEP≅△OFP\therefore \quad \triangle \mathrm{OEP} \cong \triangle \mathrm{OFP} [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] ∴∠EOP=∠FOP\therefore \quad \angle \mathrm{EOP}=\angle \mathrm{FOP} অর্থাৎ ∠EOA=∠FOA\angle \mathrm{EOA}=\angle \mathrm{FOA} ধাপ-২ : △AOE\triangle \mathrm{AOE} ও △AOF−\triangle \mathrm{AOF}- এ, OE == OF [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] OA=OA [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত ∠EOA=\angle \mathrm{EOA}= অন্তর্ভুক্ত ∠FOA\angle \mathrm{FOA} [ধাপ (১) হতে] ∴△AOE≅△AOF\therefore \quad \triangle \mathrm{AOE} \cong \triangle \mathrm{AOF} [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] ∴AE=AF\therefore \quad \mathrm{AE}=\mathrm{AF} এবং ∠OAE=∠OAF\angle \mathrm{OAE}=\angle \mathrm{OAF} কিন্তু এরা রৈখিক যুগল কোণ হওয়ায় প্রত্যেকেই সমকোণ। ∵∠OAE=∠OAF=1\because \angle \mathrm{OAE}=\angle \mathrm{OAF}=1 সমকোণ ∴OA⊥EF\therefore \mathrm{OA} \perp \mathrm{EF} বা, OP⊥EF\mathrm{OP} \perp \mathrm{EF} যেহেতু AE=AF\mathrm{AE}=\mathrm{AF} এবং OP⊥EF\mathrm{OP} \perp \mathrm{EF} সুতরাং OP রেখাংশ স্পর্শ জ্যা EF এর লম্বছিখণ্ডক। (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন