Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা AC = জ্যা BD এবং এরা পরস্পর M বিন্দুতে ছেদ করেছে। O, A; O, B; O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . অঙ্কন : A, D যোগ করি । প্রমাণ: ধাপ ১ : একই চাপ AB এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ [গণিত] এবং বৃত্তস্থ কোণ [গণিত] । [গণিত] বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] ধাঁপ ২ : আবার, একই চাপ CD এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ [গণিত] এবং বৃত্তস্থ কোণ [গণিত] । [গণিত] [: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] ধাপ ৩ : [গণিত] -এর বহিঃস্থ [গণিত] অন্তঃস্থ বিপরীত ( [গণিত] ) ধাপ 8 ; এখন, [গণিত] [ধাপ (১) ও (২) হতে] [গণিত] [ধাপ (৩) হতে] [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC = BD.

Barisal · 2025

উত্তর

এখানে, বৃত্তের ব্যাস = 11 সে.মি. ∴\therefore বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r=112\mathrm{r}=\frac{11}{2} সে.মি. =5.5=5.5 সে.মি. বৃত্তের ক্ষেত্রফল =πr2=3.1416×(5.5)2=\pi \mathrm{r}^2=3.1416 \times(5.5)^2 বর্গ সে.মি. =3.1416×30.25=3.1416 \times 30.25 বর্গ সে.মি. =95.033=95.033 বর্গ সে.মি. (প্রায়) নির্ণেয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল 95.033 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা AC = জ্যা BD এবং এরা পরস্পর M বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে যে, AM = BM এবং CM = DM question image অঙ্কন: কেন্দ্র ০ থেকে AC এবং BD এর উপর যথাক্রমে OE এবং OF লম্ব আঁকি। O, M যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : OE ⊥\perp AC এবং OF ⊥\perp BD সুতরাং AE=CE\mathrm{AE}=\mathrm{CE} এবং BF=DF[∵\mathrm{BF}=\mathrm{DF}[\because বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] ∴AE=12AC এবং BF=12BD\therefore \mathrm{AE}=\frac{1}{2} \mathrm{AC} \text{ এবং } \mathrm{BF}=\frac{1}{2} \mathrm{BD} ধাপ-২ : কিন্তু AC = BD [দেওয়া আছে] বা, 12AC=12BD\frac{1}{2} \mathrm{AC}=\frac{1}{2} \mathrm{BD} ∴AE=BF\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{BF}[ধাপ ১ হতে] ধাপ-৩ : কেন্দ্র OO থেকে AC এবং BD সমান জ্যাদ্বয়ের দূরত্ব যথাক্রমে OE এবং OF. ∴OE=OF[∵\therefore \mathrm{OE}=\mathrm{OF}[\because বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী] ধাপ-৪ : সমকোণী △EOM\triangle \mathrm{EOM} এবং সমকোণী △FOM\triangle \mathrm{FOM} এ অতিভুজ OM = অতিভুজ OM [সাধারণ বাহু] এবং OE=OF\mathrm{OE}=\mathrm{OF} [ধাপ ৩ হতে] ∴△EOM≅△FOM\therefore \triangle \mathrm{EOM} \cong \triangle \mathrm{FOM} [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] ∴EM=FM\therefore \mathrm{EM}=\mathrm{FM} ধাপ-৫: ধাপ ২ ও ৪ হতে AE+EM=BF+PM\mathrm{AE}+\mathrm{EM}=\mathrm{BF}+\mathrm{PM} [যোগ করে] ∴AM=BM[∵AE+EM=AM\therefore \mathrm{AM}=\mathrm{BM}[\because \mathrm{AE}+\mathrm{EM}=\mathrm{AM} এবং BF=FM=BM]\mathrm{BF}=\mathrm{FM}=\mathrm{BM}] ধাপ-৬ : আবার, AC=BD\mathrm{AC}=\mathrm{BD} বা, AC - AM=BD\mathrm{AM}=\mathrm{BD} - BM [ধাপ ৫ হতে] ∴CM=DM[∵AC−AM=CM\therefore \mathrm{CM}=\mathrm{DM}[\because \mathrm{AC}-\mathrm{AM}=\mathrm{CM} এবং BD−BM=DM]\mathrm{BD}-\mathrm{BM}=\mathrm{DM}] সুতরাং AM=BM\mathrm{AM}=\mathrm{BM} এবং CM=DM\mathrm{CM}=\mathrm{DM}. (দেখানো হলো)

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা AC = জ্যা BD এবং এরা পরস্পর M বিন্দুতে ছেদ করেছে। O, A; O, B; O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB+∠DOC=2∠AMB\angle \mathrm{AOB}+ \angle \mathrm{DOC}=2 \angle \mathrm{AMB}. অঙ্কন : A, D যোগ করি । প্রমাণ: ধাপ ১ : একই চাপ AB এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB\angle \mathrm{AOB} এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ADB\angle \mathrm{ADB} । ∴∠AOB=2∠ADB[∵\therefore \angle \mathrm{AOB}=2 \angle \mathrm{ADB} \quad[\because বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] ধাঁপ ২ : আবার, একই চাপ CD এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOC\angle \mathrm{DOC} এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠DAC\angle \mathrm{DAC} । ∴∠DOC=2∠DAC\therefore \angle \mathrm{DOC}=2 \angle \mathrm{DAC} [: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] ধাপ ৩ : △AMD\triangle \mathrm{AMD}-এর বহিঃস্থ ∠AMB=\angle \mathrm{AMB}= অন্তঃস্থ বিপরীত ( ∠ADM+∠DAM\angle \mathrm{ADM}+\angle \mathrm{DAM} ) ধাপ 8 ; এখন, ∠AOB+∠DOC=2(ADB+∠DAC)\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{DOC}=2(\mathrm{ADB}+\angle \mathrm{DAC}) [ধাপ (১) ও (২) হতে] =2(∠ADM+∠DAM)=2(\angle \mathrm{ADM}+\angle \mathrm{DAM}) =2∠AMB=2 \angle \mathrm{AMB} [ধাপ (৩) হতে] ∴∠AOB+∠DOC=2∠AMB\therefore \angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{DOC}=2 \angle \mathrm{AMB}. (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন