Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, OE রেখাংশ স্পর্শ জ্যা AD এর সমদ্বিখন্ডক।

উত্তর: মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু E থেকে বৃত্তে AE ও DE দুইটি স্পর্শক এবং AD হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। OE রেখাংশ AD জ্যাকে F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OE রেখাংশ স্পর্শ জ্যা AD এর সমদ্বিখণ্ডক। [চিত্র] অঙ্কন: O, A এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১ : [গণিত] এবং [গণিত] এর মধ্যে, [গণিত] [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] AE = DE[বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং [গণিত] [সাধারণ বাহু] [গণিত] [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] ধাপ-২ : এখন, [গণিত] ও [গণিত] -এ OA = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ষ] OF = OF [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত [গণিত] অন্তর্ভুক্ত [গণিত] [ধাপ (১) হতে] [গণিত] [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] [গণিত] অতএব, OR রেখাংশ স্পর্শ জ্যা AD এর সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, OE রেখাংশ স্পর্শ জ্যা AD এর সমদ্বিখন্ডক।

উদ্দীপক

question image উপরের চিত্রে, O বৃত্তের কেন্দ্র।

Mymensingh · 2025

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB ব্যাস এবং CD ব্যাস - ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD. question image অঙ্কন: O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ: OA = OB = OC = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এখন, Δ\Delta OCD-এ, OC + OD > CD [ ∵\because ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] বা, OA+OB>CD[∵OA=OB=OC=OD]O A+O B>C D[\because O A=O B=O C=O D] ∴\therefore \quad AB >CD>C D. (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC+∠ADC=180∘\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}=180^{\circ}. question image অঙ্কন : O, A এবং O, C যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ ১ : একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ ∠AOC=2\angle A O C=2 (বৃত্তস্থ ∠ABC\angle A B C ) [∵\because বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ ∠AOC=2∠ABC\angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{ABC} ধাপ ২ : আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC=2\angle A O C=2 (বৃত্তস্থ ∠ADC\angle A D C ) [∵\because একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, কোণ ∠AOC=2∠ADC\angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{ADC} ∴\therefore প্রবৃদ্ধ ∠AOC+\angle \mathrm{AOC}+ কোণ ∠AOC=2(∠ABC+∠ADC)\angle \mathrm{AOC}=2(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}) কিন্তু, প্রবৃদ্ধ ∠AOC+\angle \mathrm{AOC}+ কোণ ∠AOC=4\angle \mathrm{AOC}=4 সমকোণ =360∘=360^{\circ} ∴2(∠ABC+∠ADC)=360∘\therefore 2(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC})=360^{\circ} বা, ∠ABC+∠ADC=360∘2\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}=\frac{360^{\circ}}{2}. ∴∠ABC+∠ADC=180∘\therefore \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}=180^{\circ} (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু E থেকে বৃত্তে AE ও DE দুইটি স্পর্শক এবং AD হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। OE রেখাংশ AD জ্যাকে F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OE রেখাংশ স্পর্শ জ্যা AD এর সমদ্বিখণ্ডক। question image অঙ্কন: O, A এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১ : △OAE\triangle \mathrm{OAE} এবং △ODE\triangle \mathrm{ODE} এর মধ্যে, OA=OD\mathrm{OA}=\mathrm{OD} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] AE = DE[বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং OE=OE\mathrm{OE}=\mathrm{OE} [সাধারণ বাহু] ∴△OAE≅△ODE\therefore \quad \triangle \mathrm{OAE} \cong \triangle \mathrm{ODE} [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] ∴∠AOE=∠DOE\therefore \quad \angle \mathrm{AOE}=\angle \mathrm{DOE} অর্থাৎ, ∠AOF=∠DOF\angle \mathrm{AOF}=\angle \mathrm{DOF} ধাপ-২ : এখন, △OAF\triangle \mathrm{OAF} ও △ODF\triangle \mathrm{ODF}-এ OA = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ষ] OF = OF [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AOF=\angle \mathrm{AOF}= অন্তর্ভুক্ত ∠DOF\angle \mathrm{DOF} [ধাপ (১) হতে] ∴△OAF≅△ODF\therefore \quad \triangle \mathrm{OAF} \cong \triangle \mathrm{ODF} [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] ∴AF=DF\therefore \quad \mathrm{AF}=\mathrm{DF} অতএব, OR রেখাংশ স্পর্শ জ্যা AD এর সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন