Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ করো যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে RSTM চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] ধাপ-১ : একই চাপ SRM এর উপর দণ্ডায়মান প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ [গণিত] (বৃত্তস্থ ∠ STM) [ ∵ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ [গণিত] ধাপ-২ : আবার, একই চাপ STM এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ [গণিত] (বৃত্তস্থ [গণিত] ) অর্থাৎ, [গণিত] ধাপ-৩ : প্রবৃদ্ধ [গণিত] বা, [গণিত] প্রবৃদ্ধ [গণিত] বা, [গণিত] ধাপ-৪ : আবার, RSTM বৃত্তস্থ চতর্ভুজে, [গণিত] [ [গণিত] চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি [গণিত] ] বা, [গণিত] ধাপ-৩ থেকে] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

প্রমাণ করো যে,

উদ্দীপক

question image চিত্রে, O হচ্ছে বৃত্তের কেন্দ্র।

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB>CD\mathrm{AB}>\mathrm{CD}. অঙ্কন : O, C এবং O, D যোগ করি। অঙ্কন : O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ : OA=OB=OC=OD\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এখন, △OCD\triangle \mathrm{OCD}-এ, OC+OD>CD\mathrm{OC}+\mathrm{OD}>\mathrm{CD} [ ∵ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] বা, OA+OB>CD[∵OA=OB=OC=OD]O A+O B>C D[\because O A=O B=O C=O D] ∴AB>CD.(\therefore \quad \mathrm{AB}>\mathrm{CD} .( প্রমাণিত ))

উত্তর

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট RSTM বৃত্তে STM চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠SOM\angle \mathrm{SOM} ও বৃত্তস্থ কোণ ∠SRM\angle \mathrm{SRM} । প্রমাণ করতে হবে যে, ∠SRM=12∠SOM\angle \mathrm{SRM}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{SOM} question image অঙ্কন : R বিন্দু দিয়ে O কেন্দ্রগামী রেখাংশ RP আঁকি। প্রমাণ : ধাপ-১ : △SOR\triangle \mathrm{SOR} এর বহিঃস্থ ∠SOP=∠SRO+∠RSO\angle \mathrm{SOP}=\angle \mathrm{SRO}+\angle \mathrm{RSO} [: ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান] ধাপ-২: △SOR\triangle \mathrm{SOR} এ OR = OS [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] ∴∠SRO=∠RSO\therefore \angle \mathrm{SRO}=\angle \mathrm{RSO} [∵ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান] ধাপ-৩ : ধাপ (১) ও ধাপ (২) থেকে পাই, ∠SOP=∠SRO+∠SRO\angle \mathrm{SOP}=\angle \mathrm{SRO}+\angle \mathrm{SRO} বা, ∠SOP=2∠SRO\angle \mathrm{SOP}=2 \angle \mathrm{SRO} ধাপ-৪ : একইভাবে △\triangle ROM থেকে পাই, ∠MOP=2∠MRO\angle \mathrm{MOP}=2 \angle \mathrm{MRO} ধাপ-৫ : ধাপ (৩) ও ধাপ (৪) থেকে পাই, ∠SOP+∠MOP=2(∠SRO+∠MRO)\angle \mathrm{SOP}+\angle \mathrm{MOP}=2(\angle \mathrm{SRO}+\angle \mathrm{MRO}) বা, ∠SOM=2∠SRM\angle \mathrm{SOM}=2 \angle \mathrm{SRM} [∵∠SOP+∠MOP=∠SOM[\because \angle \mathrm{SOP}+\angle \mathrm{MOP}=\angle \mathrm{SOM} এবং ∠SRO+∠MRO=∠SRM]\angle\mathrm{SRO}+\angle \mathrm{MRO}=\angle \mathrm{SRM}] ∴∠SRM=12∠SOM\therefore \quad \angle \mathrm{SRM}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{SOM}. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে RSTM চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠RST+∠RMT=180∘\angle \mathrm{RST}+\angle \mathrm{RMT}=180^{\circ} ধাপ-১ : একই চাপ SRM এর উপর দণ্ডায়মান প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ ∠SOM=2\angle \mathrm{SOM}=2 (বৃত্তস্থ ∠ STM) [ ∵ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ ∠SOM=2∠STM\angle \mathrm{SOM}=2 \angle \mathrm{STM} ধাপ-২ : আবার, একই চাপ STM এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠SOM=2\angle \mathrm{SOM}=2 (বৃত্তস্থ ∠SRM\angle \mathrm{SRM} ) অর্থাৎ, ∠SOM=2∠SRM\angle \mathrm{SOM}=2 \angle \mathrm{SRM} ধাপ-৩ : প্রবৃদ্ধ ∠SOM+∠SOM=2∠STM+2∠SRM\angle \mathrm{SOM}+\angle \mathrm{SOM}=2 \angle \mathrm{STM}+2 \angle \mathrm{SRM} বা, 360∘=2(∠STM+∠SRM)[∵360^{\circ}=2(\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{SRM})\left[\because\right. প্রবৃদ্ধ ∠SOM+∠SOM=360∘]\left.\angle \mathrm{SOM}+\angle \mathrm{SOM}=360^{\circ}\right] বা, ∠STM+∠SRM=360∘2\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{SRM}=\frac{360^{\circ}}{2} ∴∠STM+∠SRM=180∘\therefore \quad \angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{SRM}=180^{\circ} ধাপ-৪ : আবার, RSTM বৃত্তস্থ চতর্ভুজে, ∠RST+∠RMT+∠STM+∠SRM=360∘\angle \mathrm{RST}+\angle \mathrm{RMT}+\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{SRM}=360^{\circ} [ ∵\because চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি =360o =360^{\text{o }} ] বা, ∠RST+∠RMT+180∘=360∘[\angle \mathrm{RST}+\angle \mathrm{RMT}+180^{\circ}=360^{\circ}[ ধাপ-৩ থেকে] বা, ∠RST+∠RMT=360∘−180∘\angle \mathrm{RST}+\angle \mathrm{RMT}=360^{\circ}-180^{\circ} ∴∠RST+∠RMT=180∘\therefore \quad \angle \mathrm{RST}+\angle \mathrm{RMT}=180^{\circ} (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন