∠PRS + ∠SRQ = 1 সমকোণ হলে প্রমাণ করো যে, P, O এবং Q একই সরলরেখায় অবস্থিত।
উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট PSQR বৃত্তে, ∠PRS + ∠SRQ = এক সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, P, O এবং Q একই সরলরেখায় অবস্থিত। অঙ্কন: P, O; S, O এবং Q, O যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ (১) একই চাপ PS-এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠PRS এবং কেন্দ্রস্থ ∠POS. ∴ ∠PRS = [গণিত] ∠POS [গণিত] .. (i) [বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।] (২) আবার, একই চাপ SQ-এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠SRQ এবং কেন্দ্রস্থ ∠SOQ. ∴ ∠SRQ = [গণিত] ∠SOQ [গণিত] .. (ii) [একই কারণে] (৩) (i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই, ∠PRS + ∠SRQ = [গণিত] ∠POS + [গণিত] ∠SOQ বা, 1 সমকোণ = [গণিত] (∠POS + ∠SOQ) [ দেওয়া আছে, ∠PRS + ∠SRQ = এক সমকোণ] বা, ∠POS + ∠SOQ = 2 × 1 সমকোণ বা, ∠POS + ∠SOQ = দুই সমকোণ বা, ∠POQ = দুই সমকোণ [অঙ্কনানুসারে] ∴ ∠POQ = এক সরলকোণ [∵ এক সরলকোণ = দুই সমকোণ] অতএব, P, O এবং Q একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)
SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল
∠PRS + ∠SRQ = 1 সমকোণ হলে প্রমাণ করো যে, P, O এবং Q একই সরলরেখায় অব…
উদ্দীপক
Sylhet · 2017
উত্তর
চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQ ব্যাস। ∠PRQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।উত্তর
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠PRQ = 1 সমকোণ।
অঙ্কন: PQ এর যে পাশে R বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু A নিই।
(১) PAQ চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠PRQ = (কেন্দ্রস্থ সরলকোণ ∠POQ) [একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
(২) কিন্তু সরল কোণ ∠POQ = দুই সমকোণ
∴ ∠PRQ = (দুই সমকোণ) = 1 সমকোণ (প্রমাণিত)উত্তর
দেওয়া আছে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট PSQR বৃত্তে, ∠PRS + ∠SRQ = এক সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, P, O এবং Q একই সরলরেখায় অবস্থিত।
অঙ্কন: P, O; S, O এবং Q, O যোগ করি।
প্রমাণ: ধাপ
(১) একই চাপ PS-এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠PRS এবং কেন্দ্রস্থ ∠POS.
∴ ∠PRS = ∠POS বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।]
(২) আবার, একই চাপ SQ-এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠SRQ এবং কেন্দ্রস্থ ∠SOQ.
∴ ∠SRQ = ∠SOQ একই কারণে]
(৩) (i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই,
∠PRS + ∠SRQ = ∠POS + ∠SOQ
বা, 1 সমকোণ = (∠POS + ∠SOQ) [ দেওয়া আছে, ∠PRS + ∠SRQ = এক সমকোণ]
বা, ∠POS + ∠SOQ = 2 × 1 সমকোণ
বা, ∠POS + ∠SOQ = দুই সমকোণ
বা, ∠POQ = দুই সমকোণ [অঙ্কনানুসারে]
∴ ∠POQ = এক সরলকোণ [∵ এক সরলকোণ = দুই সমকোণ]
অতএব, P, O এবং Q একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)
