Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] = দুই সমকোণ।

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বাচন: মনে করি, [গণিত] কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের [গণিত] ও [গণিত] জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত [গণিত] বিন্দুতে সমকোণে মিলিত হয়েছে। [গণিত] এবং [গণিত] যোগ করায় [গণিত] উৎপন্ন হয়। আবার, [গণিত] এবং [গণিত] যোগ করায় [গণিত] উৎপন্ন হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] = দুই সমকোণ। অঙ্কন: [গণিত] যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ (১): একই চাপ [গণিত] -এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ [গণিত] এবং বৃত্তস্থ [গণিত] । [গণিত] ... ... ... (i) [বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক] অনুরূপভাবে দেখানো যায় যে, [গণিত] . (ii) ধাপ (২): (i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (iii) এখন, [গণিত] -এর [গণিত] সমকোণ [গণিত] . (iv) [কারণ [গণিত] বলে [গণিত] ] ধাপ (৩): (iv) নং এর মান (iii) নং-এ বসিয়ে পাই, [গণিত] সমকোণ [গণিত] = দুই সমকোণ। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, = দুই সমকোণ।

উদ্দীপক

একটি বৃত্তে AB\text{AB} ও CD\text{CD} দুইটি জ্যা। AB\text{AB} জ্যা এর উপর লম্ব CD\text{CD}। AB\text{AB} ও CD\text{CD} জ্যা দ্বয় বৃত্তের অভ্যন্তরে E\text{E} বিন্দুতে ছেদ করে। AC\text{AC} ও BD\text{BD} চাপদ্বয় কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠AOC\angle\text{AOC} ও ∠BOD\angle\text{BOD} কোণ উৎপন্ন করেছে।

Dinajpur · 2016

উত্তর

question image

উত্তর

বিশেষ নির্বাচন: মনে করি, AB\text{AB} ও CD\text{CD} জ্যা দুইটি O\text{O} কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অভ্যন্তরে E\text{E} বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করেছে। O, A\text{O, A}; O, B\text{O, B}; O, C\text{O, C} এবং O, D\text{O, D} যোগ করি। AC\text{AC} ও BD\text{BD} চাপদ্বয় কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠AOC\angle\text{AOC} ও ∠BOD\angle\text{BOD} উৎপন্ন করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOC+∠BOD=2∠AEC\angle\mathrm{AOC} + \angle\mathrm{BOD}=2\angle\mathrm{AEC}। অঙ্কন: A, D\text{A, D} যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ (১): △ADE\triangle\mathrm{ADE}-এ, বহিঃস্থ ∠AEC=অন্তঃস্থ (∠ADE+∠EAD)\angle\mathrm{AEC} = \text{অন্তঃস্থ } (\angle\mathrm{ADE}+\angle\mathrm{EAD}) [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান] অর্থাৎ ∠AEC=∠ADC+∠BAD\angle\mathrm{AEC} = \angle\mathrm{ADC} + \angle\mathrm{BAD} ধাপ (২): এখন, AC\text{AC} চাপের ওপর অবস্থিত ∠ADC\angle\mathrm{ADC} বৃত্তস্থ কোণ এবং ∠AOC\angle\mathrm{AOC} কেন্দ্রস্থ কোণ। ∴∠AOC=2∠ADC\therefore \angle\mathrm{AOC} = 2\angle\mathrm{ADC} [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] ধাপ (৩): আবার, BD\text{BD} চাপের ওপর অবস্থিত ∠BAD\angle\mathrm{BAD} বৃত্তস্থ কোণ এবং ∠BOD\angle\mathrm{BOD} কেন্দ্রস্থ কোণ। ∴∠BOD=2∠BAD\therefore \angle\mathrm{BOD} = 2\angle\mathrm{BAD} [ঐ একই কারণে] ধাপ (৪): ∴∠AOC+∠BOD=2∠ADC+2∠BAD\therefore \angle\mathrm{AOC} + \angle\mathrm{BOD} = 2\angle\mathrm{ADC} + 2\angle\mathrm{BAD} =2(∠ADC+∠BAD)= 2(\angle\mathrm{ADC} + \angle\mathrm{BAD}) =2∠AEC= 2\angle\mathrm{AEC} [ধাপ-১ হতে] ∴∠AOC+∠BOD=2∠AEC\therefore \angle\mathrm{AOC} + \angle\mathrm{BOD} = 2\angle\mathrm{AEC} (দেখানো হলো)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বাচন: মনে করি, O\mathrm{O} কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB\mathrm{AB} ও DC\mathrm{DC} জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত E\mathrm{E} বিন্দুতে সমকোণে মিলিত হয়েছে। A,O\mathrm{A, O} এবং C,O\mathrm{C, O} যোগ করায় ∠AOC\angle\mathrm{AOC} উৎপন্ন হয়। আবার, O,D\mathrm{O, D} এবং O,B\mathrm{O, B} যোগ করায় ∠BOD\angle\mathrm{BOD} উৎপন্ন হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOC+∠BOD\angle \mathrm{AOC} + \angle \mathrm{BOD} = দুই সমকোণ। অঙ্কন: B,C\mathrm{B, C} যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ (১): একই চাপ AC\mathrm{AC}-এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠AOC\angle\mathrm{AOC} এবং বৃত্তস্থ ∠ABC\angle\mathrm{ABC}। ∴∠AOC=2∠ABC\therefore \angle \mathrm{AOC} = 2\angle \mathrm{ABC} ... ... ... (i) [বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক] অনুরূপভাবে দেখানো যায় যে, ∠BOD=2∠BCD\angle \mathrm{BOD} = 2 \angle \mathrm{BCD} …….(ii)\ldots\ldots. (ii) ধাপ (২): (i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই, ∠AOC+∠BOD=2∠ABC+2∠BCD\angle \mathrm{AOC} + \angle \mathrm{BOD} = 2 \angle \mathrm{ABC} + 2 \angle \mathrm{BCD} বা, ∠AOC+∠BOD=2(∠ABC+∠BCD)\angle \mathrm{AOC} + \angle \mathrm{BOD} = 2 (\angle \mathrm{ABC} + \angle \mathrm{BCD}) বা, ∠AOC+∠BOD=2(∠EBC+∠ECB)\angle \mathrm{AOC} + \angle \mathrm{BOD} = 2 (\angle \mathrm{EBC} + \angle \mathrm{ECB}) …….(iii)\ldots\ldots. (iii) এখন, △EBC\triangle \mathrm{EBC}-এর ∠EBC+∠ECB=1\angle \mathrm{EBC} + \angle \mathrm{ECB} = 1 সমকোণ …….(iv)[\ldots\ldots. (iv) [কারণ AB⊥DC\mathrm{AB}\perp\mathrm{DC} বলে ∠BEC=এক সমকোণ\angle\mathrm{BEC} = \text{এক সমকোণ}] ধাপ (৩): (iv) নং এর মান (iii) নং-এ বসিয়ে পাই, ∠AOC+∠BOD=2×1\angle \mathrm{AOC} + \angle \mathrm{BOD} = 2 \times 1 সমকোণ ∴∠AOC+∠BOD\therefore \angle \mathrm{AOC} + \angle \mathrm{BOD} = দুই সমকোণ। (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন