Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] . (i) এবং [গণিত] . (ii) (i) ও (ii) কে বর্গ করে যোপ করে, পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] [(i) ও (ii) থেকে] [গণিত] এর মান বসিয়ে] [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমানিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 8: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 8: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র ℹ️ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ করো যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=sin⁡2xf(\mathrm{x})=\sin 2 \mathrm{x} দৃশ্যকল্প-২ : 2cos⁡ A=cos⁡B+cos⁡3 B\sqrt{2} \cos \mathrm{~A}=\cos \mathrm{B}+\cos^3 \mathrm{~B} এবং 2⋅sin⁡ A=sin⁡B−sin⁡3 B\sqrt{2} \cdot \sin \mathrm{~A}=\sin \mathrm{B}-\sin^3 \mathrm{~B}.

উত্তর

দেওয়া আছে, A+B=π4A+B=\frac{\pi}{4} ∴A=π4−B\therefore A=\frac{\pi}{4}-B বামপক্ষ =(1+tan⁡A)(1+tan⁡B)=(1+\tan A)(1+\tan B) ={1+tan⁡(π4−B)}(1+tan⁡B)=\left\{1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-B\right)\right\}(1+\tan B) =(1+tan⁡π4−tan⁡B1+tan⁡π4⋅tan⁡B)(1+tan⁡B)=\left(1+\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan B}{1+\tan \frac{\pi}{4} \cdot \tan B}\right)(1+\tan B) =(1+1−tan⁡B1+tan⁡B)(1+tan⁡B)=\left(1+\frac{1-\tan B}{1+\tan B}\right)(1+\tan B) =1+tan⁡B+1−tan⁡B(1+tan⁡B)×(1+tan⁡B)=\frac{1+\tan B+1-\tan B}{(1+\tan B)} \times(1+\tan B) =2(1+tan⁡B)×(1+tan⁡B)=2==\frac{2}{(1+\tan B)} \times(1+\tan B)=2= ডানপক্ষ ∴(1+tan⁡A)(1+tan⁡B)=2.\therefore (1+\tan A)(1+\tan B)=2 . (দেখানো হলো)

উত্তর

---

উত্তর

দেওয়া আছে, 2cos⁡ A=cos⁡B+cos⁡3 B\sqrt{2} \cos \mathrm{~A}=\cos \mathrm{B}+\cos^3 \mathrm{~B} …….(i)\ldots\ldots. (i) এবং 2sin⁡ A=sin⁡B−sin⁡3 B\sqrt{2} \sin \mathrm{~A}=\sin \mathrm{B}-\sin^3 \mathrm{~B}
…….(ii)(i)\ldots\ldots. (ii) (i)
ও (ii) কে বর্গ করে যোপ করে, পাই, 2(cos⁡2A÷sin⁡2A)=cos⁡2B÷sin⁡2B÷2(cos⁡4B−sin⁡4B)÷cos⁡6B+sin⁡6B2\left(\cos^2 A \div \sin^2 A\right)=\cos^2 B \div \sin^2 B \div 2\left(\cos^4 B-\sin^4 B\right) \div \cos^6 B+\sin^6 B বা, 2⋅1=1+2{(cos⁡2B)2−(sin⁡2B)2}+(cos⁡2B)3+(sin⁡2B)32 \cdot 1=1+2\left\{\left(\cos^2 B\right)^2-\left(\sin^2 B\right)^2\right\}+\left(\cos^2 B\right)^3+\left(\sin^2 B\right)^3 বা, 2=1+2(cos⁡2B+sin⁡2B)(cos⁡2B−sin⁡2B)2=1+2\left(\cos^2 B+\sin^2 B\right)\left(\cos^2 B-\sin^2 B\right) +(cos⁡2B+sin⁡2B)3−3cos⁡2B⋅sin⁡2B(cos⁡2B+sin⁡2B)+\left(\cos^2 B+\sin^2 B\right)^3-3 \cos^2 B \cdot \sin^2 B\left(\cos^2 B+\sin^2 B\right) বা, 1=2.1(cos⁡2 B−sin⁡2 B)+13÷3cos⁡2 B⋅sin⁡2 B1=2.1\left(\cos^2 \mathrm{~B}-\sin^2 \mathrm{~B}\right)+1^3 \div 3 \cos^2 \mathrm{~B} \cdot \sin^2 \mathrm{~B} বা, 3cos⁡2 B(1−cos⁡2 B)−2(cos⁡2 B−1+cos⁡2 B)=03 \cos^2 \mathrm{~B}\left(1-\cos^2 \mathrm{~B}\right)-2\left(\cos^2 \mathrm{~B}-1+\cos^2 \mathrm{~B}\right)=0 বা, 3cos⁡2B−3cos⁡4B−2cos⁡2B+2−2cos⁡2B=03 \cos^2 B-3 \cos^4 B-2 \cos^2 B+2-2 \cos^2 B=0 বা, 3cos⁡4 B+cos⁡2 B−2=03 \cos^4 \mathrm{~B}+\cos^2 \mathrm{~B}-2=0 বা, 3cos⁡4 B−2cos⁡2 B+3cos⁡2 B−2=03 \cos^4 \mathrm{~B}-2 \cos^2 \mathrm{~B}+3 \cos^2 \mathrm{~B}-2=0 বা, cos⁡2 B(3cos⁡2 B−2)+1(3cos⁡2 B−2)=0\cos^2 \mathrm{~B}\left(3 \cos^2 \mathrm{~B}-2\right)+1\left(3 \cos^2 \mathrm{~B}-2\right)=0 বা, (3cos⁡2 B−2)(cos⁡2 B+1)=0\left(3 \cos^2 \mathrm{~B}-2\right)\left(\cos^2 \mathrm{~B}+1\right)=0 বা, 3cos⁡2 B−2=0[∵cos⁡2 B+1≠0]3 \cos^2 \mathrm{~B}-2=0\left[\because \cos^2 \mathrm{~B}+1 \neq 0\right] বা, 3cos⁡2 B=23 \cos^2 \mathrm{~B}=2 বা, cos⁡2 B=23\cos^2 \mathrm{~B}=\frac{2}{3} ∴cos⁡B=±23\therefore \quad \cos B= \pm \sqrt{\frac{2}{3}} এখন, sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B =cos⁡B⋅12(sin⁡B−sin⁡3B)−sin⁡B12(cos⁡B+cos⁡3B)=\cos B \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin B-\sin^3 B\right)-\sin B \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos B+\cos^3 B\right) [(i) ও (ii) থেকে] =−12cos⁡ Bsin⁡3 B−12sin⁡ Bcos⁡3 B=-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \mathrm{~B} \sin^3 \mathrm{~B}-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \mathrm{~B} \cos^3 \mathrm{~B} =−12sin⁡ Bcos⁡ B(sin⁡2 B+cos⁡2 B)=-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \mathrm{~B} \cos \mathrm{~B}\left(\sin^2 \mathrm{~B}+\cos^2 \mathrm{~B}\right) =−12sin⁡ Bcos⁡ B×1=−12cos⁡ B1−cos⁡2 B=-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \mathrm{~B} \cos \mathrm{~B} \times 1=-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \mathrm{~B} \sqrt{1-\cos^2 \mathrm{~B}} =−12(±23)1−(±23)2[cos⁡ B−=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right) \sqrt{1-\left( \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2}[\cos \mathrm{~B}- এর মান বসিয়ে] =±12⋅23⋅13=±13= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}= \pm \frac{1}{3} বা, sin⁡(A−B)=±13\sin (A-B)= \pm \frac{1}{3} বা, 1cosec⁡⁡( A−B)=±13\frac{1}{\operatorname{\cosec}(\mathrm{~A}-\mathrm{B})}= \pm \frac{1}{3} ∴cosec⁡⁡(A−B)=±3\therefore \quad \operatorname{\cosec}(\mathrm{A}-\mathrm{B})= \pm 3. (প্রমানিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 8: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র ℹ️
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

মনে কর, A=R−{3},B=R−{2}\mathrm{A}=\mathbb{R}-\{3\}, \mathrm{B}=\mathbb{R}-\{2\} এবং f:A→Bf: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} f(x)=x−2x−3f(x)=\frac{x-2}{x-3} দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
ক
দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।
খ
f-1(x) নির্ণয় কর।
গ
ফাংশনটি সার্বিক কি-না যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f-1(x) নির্ণয় কর।

f-1(x) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।

দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, যেখানে f(x)=x2−2∣x∣f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-2|\mathrm{x}| এবং g:R→R\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; যেখানে g(x)=x2+1g(x)=x^2+1
ক
g−1(5)\mathrm{g}^{-1}(5) নির্ণয় কর।
খ
(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।
গ
g−1(17)\mathrm{g}^{-1}(17) ও g−1([26,37])\mathrm{g}^{-1}([26,37]) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।

(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.g−1(5)\mathrm{g}^{-1}(5) নির্ণয় কর।

g−1(5)\mathrm{g}^{-1}(5) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=2x−33x+5f(x)=\frac{2 x-3}{3 x+5} ও g(x)=3x−7g(x)=3 x-7 দুইটি ফাংশন।
ক
a⃗=i^−j^+2k^\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} ও b⃗=2i^+3j^+2k^\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k} হলে b⃗\vec{b} ভেক্টরের উপর a→\overrightarrow{\mathbf{a}} ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।
গ
দুইটি ভেষ্টর M⃗=g(3)i^+3g(2)j^−g(1)k^\vec{M}=g(3) \hat{i}+3 g(2) \hat{j}-g(1) \hat{k} এবং N→=g(4)i^−g(l)j^−2 g(2)k^\overrightarrow{\mathrm{N}}=\mathrm{g}(4) \hat{\mathrm{i}}-\mathrm{g}(\mathrm{l}) \hat{\mathrm{j}}-2 \mathrm{~g}(2) \hat{\mathrm{k}} দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।

উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.a⃗=i^−j^+2k^\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} ও b⃗=2i^+3j^+2k^\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k} হলে b⃗\vec{b} ভেক্টরের উপর a→\overrightarrow{\mathbf{a}} ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

a⃗=i^−j^+2k^\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} ও b⃗=2i^+3j^+2k^\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k} হলে b⃗\vec{b} ভেক্টরের উপর a→\overrightarrow{\mathbf{a}} ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

g:R→R\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ফাংশনটি g(x)=2x+1, h:R→R\mathrm{g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}+1, \mathrm{~h}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ফাংশনটি h(x)=1x−2;x≠2\mathrm{h}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}-2} ; \mathrm{x} \neq 2 দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং f(x)=g(x)×h(x)f(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x}) \times \mathrm{h}(\mathrm{x}).
ক
x=−2x=-2 হলে, ∣g(x)∣h(x)\frac{|g(x)|}{h(x)} এর মান নির্ণয় কর।
খ
h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
গ
f-1(x) নির্ণয়যোগ্য কি-না যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.x=−2x=-2 হলে, ∣g(x)∣h(x)\frac{|g(x)|}{h(x)} এর মান নির্ণয় কর।

x=−2x=-2 হলে, ∣g(x)∣h(x)\frac{|g(x)|}{h(x)} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ফাংশনটি সার্বিক কি-না যাচাই কর।f-1(x) নির্ণয় কর।দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।[গণিত] ও [গণিত] নির্ণয় কর।(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।দুইটি ভেষ্টর [গণিত] এবং [গণিত] দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।[গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] ভেক্টরের উপর [গণিত] ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।f-1(x) নির্ণয়যোগ্য কি-না যাচাই কর।h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন