Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এক-এক এবং সার্বিক কি-না দেখাও। অতঃপর [গণিত] এর ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] যেখানে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এক-এক ফাংশন। আবার, ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] দেখা যাচ্ছে ফাংশনটি [গণিত] এর জন্য সংজ্ঞায়িত নয়। [গণিত] এর রেঞ্জ [গণিত] এর কোডোমেন। সুতরাং, ফাংশনটি সার্বিক নয়। এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] (1) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি [গণিত] হয় বা, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 8: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 8: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র ℹ️ · সৃজনশীল

এক-এক এবং সার্বিক কি-না দেখাও। অতঃপর এর ডোমেন নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১ : f(x)=sin⁡4xf(\mathrm{x})=\sin 4 \mathrm{x} উদ্দীপক-২ : f:R→R,f(x)=2x+34x−5f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(\mathrm{x})=\frac{2 \mathrm{x}+3}{4 \mathrm{x}-5} ফাংশন

উত্তর

দেওয়া আছে, 3tan⁡θ=13 \tan \theta=1 বা, tan⁡θ=13\tan \theta=\frac{1}{3} প্রদত্ত রাশি =sin⁡(π−4θ2)=sin⁡(π2−2θ)=\sin \left(\frac{\pi-4 \theta}{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right) =cos⁡2θ=1−tan⁡2θ1+tan⁡2θ[∵cos⁡2 A=1−tan⁡2 A1+tan⁡2 A]=1−(13)21+(13)2=1−191+19=9−199+19=89×910=45\begin{aligned} & =\cos 2 \theta \\ & =\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\left[\because \cos 2 \mathrm{~A}=\frac{1-\tan^2 \mathrm{~A}}{1+\tan^2 \mathrm{~A}}\right] \\ & =\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{1-\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}=\frac{\frac{9-1}{9}}{\frac{9+1}{9}}=\frac{8}{9} \times \frac{9}{10}=\frac{4}{5}\end{aligned} নির্ণেয় মান : 45\frac{4}{5}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡4x;−π<x<πf(x)=\sin 4 x ;-\pi<x<\pi −π<x<π-\pi<\mathrm{x}<\pi ব্যবধিতে x এর বিভিন্ন মানের জন্য f(x)f(\mathrm{x}) এর সংশ্লিস্ট মান বের করে নিচের ছক তৈরি করি : question image x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 বাহু =π18=\frac{\pi}{18} এবং y -অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 10 বাহু =1=1 একক ধরে বিন্দুগুলো গ্রাফ কাগজে বসিয়ে সুষমভাবে যোগ করে sin⁡4x\sin 4 \mathrm{x} এর লেখচিত্র অঙ্কন করি। question image লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য : (i). লেখচিত্রটি অবিচ্ছিন্ন এবং আকার ঢেউ-এর মতো। (ii) x এর মান π2\frac{\pi}{2} এর বিজোড় গুণিতক হলে f(x)f(\mathrm{x}) এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান পাওয়া যায়। (iii) মূলবিন্দুতে এবং যে সকল বিন্দুর জন্য x এর মান π2\frac{\pi}{2} এর জোড় গুণিতকের সমান হয়, সে সকল ক্ষেত্রে f(x)f(\mathrm{x}) এর মান শূন্য হয়।

উত্তর

দেওয়া আছে, f:R→R,f(x)=2x+34x−5f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{2 x+3}{4 x-5} ধরি, f(x1)=f(x2)f\left(\mathrm{x}_1\right)=f\left(\mathrm{x}_2\right) যেখানে, x1,x2∈R\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2 \in \mathbb{R} বা, 2x1+34x1−5=2x2+34x2−5\frac{2 x_1+3}{4 x_1-5}=\frac{2 x_2+3}{4 x_2-5} বা, 8x1x2−10x1+12x2−15=8x1x2+12x1−10x2−158 x_1 x_2-10 x_1+12 x_2-15=8 x_1 x_2+12 x_1-10 x_2-15 বা, 22x1=22x222 \mathrm{x}_1=22 \mathrm{x}_2 বা, x1=x2x_1=x_2 ∴f(x)\therefore f(x) এক-এক ফাংশন। আবার, ধরি, y=f(x)=2x+34x−5y=f(x)=\frac{2 x+3}{4 x-5} বা, 4xy−5y=2x+34 x y-5 y=2 x+3 বা, 4xy−2x=5y+34 x y-2 x=5 y+3 বা, 2x(2y−1)=5y+32 x(2 y-1)=5 y+3 বা, x=5y+32(2y−1)x=\frac{5 y+3}{2(2 y-1)}……(i)\ldots\ldots(i) দেখা যাচ্ছে ফাংশনটি y=12\mathrm{y}=\frac{1}{2} এর জন্য সংজ্ঞায়িত নয়। ∴f(x)\therefore f(\mathrm{x}) এর রেঞ্জ ≠f(x)\neq f(\mathrm{x}) এর কোডোমেন। সুতরাং, ফাংশনটি সার্বিক নয়। এখন, y=f(x)\mathrm{y}=f(\mathrm{x}) হলে, x=f−1(y)\mathrm{x}=f^{-1}(\mathrm{y}) (1) নং হতে পাই, f−1(y)=5y+32(2x−1)f^{-1}(y)=\frac{5 y+3}{2(2 x-1)} বা, f−1(x)=5x+32(2x−1)f^{-1}(x)=\frac{5 x+3}{2(2 x-1)} f−1(x)f^{-1}(x) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি 2x−1≠02 x-1 \neq 0 হয় বা, x≠12x \neq \frac{1}{2} ∴Dom⁡f−1=R−{12}.\therefore \quad \operatorname{Dom} f^{-1}=\mathbf{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} .
HSCHigher Math 1st PaperChapter 8: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র ℹ️
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

মনে কর, A=R−{3},B=R−{2}\mathrm{A}=\mathbb{R}-\{3\}, \mathrm{B}=\mathbb{R}-\{2\} এবং f:A→Bf: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} f(x)=x−2x−3f(x)=\frac{x-2}{x-3} দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
ক
দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।
খ
f-1(x) নির্ণয় কর।
গ
ফাংশনটি সার্বিক কি-না যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f-1(x) নির্ণয় কর।

f-1(x) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।

দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, যেখানে f(x)=x2−2∣x∣f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-2|\mathrm{x}| এবং g:R→R\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; যেখানে g(x)=x2+1g(x)=x^2+1
ক
g−1(5)\mathrm{g}^{-1}(5) নির্ণয় কর।
খ
(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।
গ
g−1(17)\mathrm{g}^{-1}(17) ও g−1([26,37])\mathrm{g}^{-1}([26,37]) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।

(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.g−1(5)\mathrm{g}^{-1}(5) নির্ণয় কর।

g−1(5)\mathrm{g}^{-1}(5) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=2x−33x+5f(x)=\frac{2 x-3}{3 x+5} ও g(x)=3x−7g(x)=3 x-7 দুইটি ফাংশন।
ক
a⃗=i^−j^+2k^\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} ও b⃗=2i^+3j^+2k^\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k} হলে b⃗\vec{b} ভেক্টরের উপর a→\overrightarrow{\mathbf{a}} ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।
গ
দুইটি ভেষ্টর M⃗=g(3)i^+3g(2)j^−g(1)k^\vec{M}=g(3) \hat{i}+3 g(2) \hat{j}-g(1) \hat{k} এবং N→=g(4)i^−g(l)j^−2 g(2)k^\overrightarrow{\mathrm{N}}=\mathrm{g}(4) \hat{\mathrm{i}}-\mathrm{g}(\mathrm{l}) \hat{\mathrm{j}}-2 \mathrm{~g}(2) \hat{\mathrm{k}} দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।

উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.a⃗=i^−j^+2k^\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} ও b⃗=2i^+3j^+2k^\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k} হলে b⃗\vec{b} ভেক্টরের উপর a→\overrightarrow{\mathbf{a}} ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

a⃗=i^−j^+2k^\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} ও b⃗=2i^+3j^+2k^\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k} হলে b⃗\vec{b} ভেক্টরের উপর a→\overrightarrow{\mathbf{a}} ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

g:R→R\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ফাংশনটি g(x)=2x+1, h:R→R\mathrm{g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}+1, \mathrm{~h}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ফাংশনটি h(x)=1x−2;x≠2\mathrm{h}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}-2} ; \mathrm{x} \neq 2 দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং f(x)=g(x)×h(x)f(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x}) \times \mathrm{h}(\mathrm{x}).
ক
x=−2x=-2 হলে, ∣g(x)∣h(x)\frac{|g(x)|}{h(x)} এর মান নির্ণয় কর।
খ
h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
গ
f-1(x) নির্ণয়যোগ্য কি-না যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.x=−2x=-2 হলে, ∣g(x)∣h(x)\frac{|g(x)|}{h(x)} এর মান নির্ণয় কর।

x=−2x=-2 হলে, ∣g(x)∣h(x)\frac{|g(x)|}{h(x)} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ফাংশনটি সার্বিক কি-না যাচাই কর।f-1(x) নির্ণয় কর।দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।[গণিত] ও [গণিত] নির্ণয় কর।(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।দুইটি ভেষ্টর [গণিত] এবং [গণিত] দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।[গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] ভেক্টরের উপর [গণিত] ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।f-1(x) নির্ণয়যোগ্য কি-না যাচাই কর।h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন