Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক হতে f (x) ফাংশনের বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ফাংশনের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের জন্য, [গণিত] হয়, x + 6 = 0 [গণিত] অথবা, [গণিত] x = -6 হলে, [গণিত] ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান বিদ্যামান- [গণিত] ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান [গণিত] এবং বৃহত্তম মান 95়

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 8: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 8: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র ℹ️ · সৃজনশীল

উদ্দীপক হতে f (x) ফাংশনের বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

g(x)=x3−3xy+y3−15g(x)=x^3-3 x y+y^3-15 f(x)=23x3+112x2−6x+5f(x)=\frac{2}{3} x^3+\frac{11}{2} x^2-6 x+5

Jessore · 2022

উত্তর

প্রশ্নমতে, \[\begin{aligned} & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 x}-\sqrt{1-3 x}}{x} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+2 x}-\sqrt{1-3 x})(\sqrt{1+2 x}+\sqrt{1-3 x})}{x(\sqrt{1+2 x}+\sqrt{1-3 x})} \end{aligned}\] [লব ও হরকে (1+2x+1−3x)(\sqrt{1+2 x}+\sqrt{1}-3 x) দ্বারা গুণকরে] \[\begin{aligned}& =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+2 x-1+3 x}{x(\sqrt{1+2 x}+\sqrt{1-3 x})} \\& =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{5 x}{x(\sqrt{1+2 x}+\sqrt{1-3 x})} \\& =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{5}{5}}{\sqrt{1+2 x+\sqrt{1-3 x}}} \\& =\frac{\sqrt{1+20}+\sqrt{1-300}}{1} \\& =\frac{5}{1+1} \\& =\frac{5}{2}\end{aligned}\]

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x3−3xy+y3−3 এখানে, g(x)=0.⇒x3−3x2+y3−3=0⇒ddx(x3)−3⋅ddx(xy)+ddx(y3)−ddx(3)=0⇒3x2−3xdydx−3y+3y2dydx−0=0⇒3x2−3y=−dydx(3y2+3x)dydx=3y−3x23y2−3x⇒dydx=y−x2y2−x\begin{aligned}& g(x)=x^3-3 x y+y^3-3 \\ & \text{ এখানে, } g(x)=0 . \\ & \Rightarrow x^3-3 x^2+y^3-3=0 \\& \Rightarrow \frac{d}{d x}\left(x^3\right)-3 \cdot \frac{d}{d x}(x y)+\frac{d}{d x}\left(y^3\right)-\frac{d}{d x}(3)=0 \\& \Rightarrow 3 x^2-3 x \frac{d y}{d x}-3 y+3 y^2 \frac{d y}{d x}-0=0 \\& \Rightarrow 3 x^2-3 y=-\frac{d y}{d x}\left(3 y^2+3 x\right) \\& \frac{d y}{d x}=\frac{3 y-3 x^2}{3 y^2-3 x} \\& \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y-x^2}{y^2-\mathrm{x}}\end{aligned} এটি স্পর্শকের যেকোন বিন্দুতে ঢাল নির্দেশ করে। (2,1) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, dydx=1−41−2=−3−1=3\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =\frac{1-4}{1-2} \\ & =\frac{-3}{-1} \\ & =3\end{aligned} ∴(2,1)\therefore(2,1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−1=3(x−2)\mathrm{y}-1=3(\mathrm{x}-2) ⇒3x−y−5=0\Rightarrow 3 \mathrm{x}-\mathrm{y}-5=0 ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=23x3+112x2−6x+5f′(x)=323x2−12⋅112x−6f′(x)=2x2+11x−6f′′(x)=4x+11\begin{aligned}& f(x)=\frac{2}{3} x^3+\frac{11}{2} x^2-6 x+5 \\& f^{\prime}(x)=3 \frac{2}{3} x^2-12 \cdot \frac{11}{2} x-6 \\& f^{\prime}(x)=2 x^2+11 x-6 \\& f^{\prime \prime}(x)=4 x+11\end{aligned} ফাংশনের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের জন্য, f′(x)=0⇒2x2+11x−6=0⇒2x2+12x−x2−6=0⇒2x(x+6)−1(x+6)=0⇒(x+6)(2x−1)=0\begin{aligned} & f^{\prime}(x)=0 \\ \Rightarrow \quad & 2 x^2+11 x-6=0 \\ \Rightarrow \quad & 2 x^2+12 x-x^2-6=0 \\ \Rightarrow \quad & 2 x(x+6)-1(x+6)=0 \\ \Rightarrow \quad & (x+6)(2 x-1)=0\end{aligned} হয়, x + 6 = 0 \quad অথবা, 2x−1=02x-1=0 ⇒x=−63⇒x=12\Rightarrow x=-63 \quad \Rightarrow x=\frac{1}{2} x = -6 হলে, f′′(−6)=4(−6)+11f^{\prime \prime}(-6)=4(-6)+11 =−13<0=-13<0 ফাংশনটির বৃহত্তম মান বিদ্যামান- f(−6)=−23×(−6)3+112(−6)2−6⋅(−6)+5=−144+198+41=95\begin{aligned}& f(-6)=\frac{-2}{3} \times(-6)^3+\frac{11}{2}(-6)^2-6 \cdot(-6)+5 \\& =-144+198+41 \\& =95\end{aligned} আবার, x=12x=\frac{1}{2} হলে, f′′(x)=4⋅12+11=13>0\begin{aligned}& f^{\prime \prime}(x)=4 \cdot \frac{1}{2}+11 \\& =13>0\end{aligned} ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান বিদ্যামান- (12)=23(12)3+112(12)2−6⋅(12)+5=112+118−3+5=2+33+4824=8324\begin{aligned}& \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{11}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2-6 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)+5 \\& =\frac{1}{12}+\frac{11}{8}-3+5 \\& =\frac{2+33+48}{24}=\frac{83}{24}\end{aligned} ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান 8324\frac{83}{24} এবং বৃহত্তম মান 95়
HSCHigher Math 1st PaperChapter 8: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র ℹ️
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

মনে কর, A=R−{3},B=R−{2}\mathrm{A}=\mathbb{R}-\{3\}, \mathrm{B}=\mathbb{R}-\{2\} এবং f:A→Bf: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} f(x)=x−2x−3f(x)=\frac{x-2}{x-3} দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
ক
দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।
খ
f-1(x) নির্ণয় কর।
গ
ফাংশনটি সার্বিক কি-না যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f-1(x) নির্ণয় কর।

f-1(x) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।

দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, যেখানে f(x)=x2−2∣x∣f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-2|\mathrm{x}| এবং g:R→R\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; যেখানে g(x)=x2+1g(x)=x^2+1
ক
g−1(5)\mathrm{g}^{-1}(5) নির্ণয় কর।
খ
(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।
গ
g−1(17)\mathrm{g}^{-1}(17) ও g−1([26,37])\mathrm{g}^{-1}([26,37]) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।

(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.g−1(5)\mathrm{g}^{-1}(5) নির্ণয় কর।

g−1(5)\mathrm{g}^{-1}(5) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=2x−33x+5f(x)=\frac{2 x-3}{3 x+5} ও g(x)=3x−7g(x)=3 x-7 দুইটি ফাংশন।
ক
a⃗=i^−j^+2k^\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} ও b⃗=2i^+3j^+2k^\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k} হলে b⃗\vec{b} ভেক্টরের উপর a→\overrightarrow{\mathbf{a}} ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।
গ
দুইটি ভেষ্টর M⃗=g(3)i^+3g(2)j^−g(1)k^\vec{M}=g(3) \hat{i}+3 g(2) \hat{j}-g(1) \hat{k} এবং N→=g(4)i^−g(l)j^−2 g(2)k^\overrightarrow{\mathrm{N}}=\mathrm{g}(4) \hat{\mathrm{i}}-\mathrm{g}(\mathrm{l}) \hat{\mathrm{j}}-2 \mathrm{~g}(2) \hat{\mathrm{k}} দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।

উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.a⃗=i^−j^+2k^\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} ও b⃗=2i^+3j^+2k^\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k} হলে b⃗\vec{b} ভেক্টরের উপর a→\overrightarrow{\mathbf{a}} ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

a⃗=i^−j^+2k^\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} ও b⃗=2i^+3j^+2k^\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k} হলে b⃗\vec{b} ভেক্টরের উপর a→\overrightarrow{\mathbf{a}} ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

g:R→R\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ফাংশনটি g(x)=2x+1, h:R→R\mathrm{g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}+1, \mathrm{~h}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ফাংশনটি h(x)=1x−2;x≠2\mathrm{h}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}-2} ; \mathrm{x} \neq 2 দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং f(x)=g(x)×h(x)f(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x}) \times \mathrm{h}(\mathrm{x}).
ক
x=−2x=-2 হলে, ∣g(x)∣h(x)\frac{|g(x)|}{h(x)} এর মান নির্ণয় কর।
খ
h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
গ
f-1(x) নির্ণয়যোগ্য কি-না যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.x=−2x=-2 হলে, ∣g(x)∣h(x)\frac{|g(x)|}{h(x)} এর মান নির্ণয় কর।

x=−2x=-2 হলে, ∣g(x)∣h(x)\frac{|g(x)|}{h(x)} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ফাংশনটি সার্বিক কি-না যাচাই কর।f-1(x) নির্ণয় কর।দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক।[গণিত] ও [গণিত] নির্ণয় কর।(gof) (-4) এবং (fog) (-2) নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।দুইটি ভেষ্টর [গণিত] এবং [গণিত] দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।উদ্দীপক হতে f-1 (x) নির্ণয় করে দেখাও যে, f(x) এর ডোমেন f-1(x)-এর রেঞ্জের সমান।[গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] ভেক্টরের উপর [গণিত] ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।f-1(x) নির্ণয়যোগ্য কি-না যাচাই কর।h(g(x)) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন