Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, P² - Q² = 4 [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ, [গণিত] মান বসিয়ে পাই, [গণিত] আমরা বীজগণিতের সূত্র হতে জানি, [গণিত] এটিকে [গণিত] সূত্রে ভেঙে পাই, [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত ℹ️ · সৃজনশীল

দেখাও যে, P² - Q² = 4 .

উদ্দীপক

cosec⁡⁡A−sin⁡A=m,sec⁡A−cos⁡A=n\operatorname{\cosec} A-\sin A=m, \sec A-\cos A=n P=tan⁡θ+sin⁡θP=\tan \theta+\sin \theta এবং Q=tan⁡θ−sin⁡θQ=\tan \theta-\sin \theta.

উত্তর

মনে করি, f(x)=sin⁡(4x+1)f(x) = \sin(4x + 1) আমরা জানি, সাইন ফাংশনের মৌলিক পর্যায় (Fundamental period) হলো 2π2\pi। অর্থাৎ, f(x)=f(x+2π)f(x) = f(x + 2\pi)। তাহলে, f(x)f(x) ফাংশনটির পর্যায় হবে এমন একটি ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যা TT, যার জন্য f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x) হয়। এখানে, f(x+2π4)=sin⁡{4(x+2π4)+1}f\left(x + \frac{2\pi}{4}\right) = \sin \left\{4 \left(x + \frac{2\pi}{4}\right) + 1\right\} =sin⁡(4x+2π+1)= \sin \left(4x + 2\pi + 1\right) =sin⁡{2π+(4x+1)}= \sin \left\{2\pi + (4x + 1)\right\} =sin⁡(4x+1)= \sin (4x + 1) =f(x)= f(x) যেহেতু xx এর মান 2π4\frac{2\pi}{4} বা π2\frac{\pi}{2} বৃদ্ধি করলে ফাংশনটি আবার তার পূর্বের মান ফিরে পায়, তাই ফাংশনটির পর্যায় হলো π2\frac{\pi}{2}।

উত্তর

দেওয়া আছে, cosec⁡⁡A−sin⁡A=m\operatorname{\cosec} A - \sin A = m ⇒1sin⁡A−sin⁡A=m\Rightarrow \frac{1}{\sin A} - \sin A = m ⇒1−sin⁡2Asin⁡A=m\Rightarrow \frac{1 - \sin^2 A}{\sin A} = m ⇒cos⁡2Asin⁡A=m……(i)\Rightarrow \frac{\cos^2 A}{\sin A} = m \dots \dots (i) আবার দেওয়া আছে, sec⁡A−cos⁡A=n\sec A - \cos A = n ⇒1cos⁡A−cos⁡A=n\Rightarrow \frac{1}{\cos A} - \cos A = n ⇒1−cos⁡2Acos⁡A=n\Rightarrow \frac{1 - \cos^2 A}{\cos A} = n ⇒sin⁡2Acos⁡A=n……(ii)\Rightarrow \frac{\sin^2 A}{\cos A} = n \dots \dots (ii) এখন, (ii)(ii) নং সমীকরণকে (i)(i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই, sin⁡2Acos⁡Acos⁡2Asin⁡A=nm\frac{\frac{\sin^2 A}{\cos A}}{\frac{\cos^2 A}{\sin A}} = \frac{n}{m} ⇒sin⁡2Acos⁡A×sin⁡Acos⁡2A=nm\Rightarrow \frac{\sin^2 A}{\cos A} \times \frac{\sin A}{\cos^2 A} = \frac{n}{m} ⇒sin⁡3Acos⁡3A=nm\Rightarrow \frac{\sin^3 A}{\cos^3 A} = \frac{n}{m} ⇒tan⁡3A=nm\Rightarrow \tan^3 A = \frac{n}{m} উভয়পক্ষকে ঘনমূল (cube root) করে পাই, ∴tan⁡A=nm3\therefore \tan A = \sqrt[3]{\frac{n}{m}} (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, P=tan⁡θ+sin⁡θP = \tan \theta + \sin \theta Q=tan⁡θ−sin⁡θQ = \tan \theta - \sin \theta বামপক্ষ, L.H.S=P2−Q2L.H.S = P^2 - Q^2 মান বসিয়ে পাই, =(tan⁡θ+sin⁡θ)2−(tan⁡θ−sin⁡θ)2= (\tan \theta + \sin \theta)^2 - (\tan \theta - \sin \theta)^2 আমরা বীজগণিতের সূত্র হতে জানি, (a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab =4tan⁡θsin⁡θ= 4 \tan \theta \sin \theta =4tan⁡2θsin⁡2θ= 4 \sqrt{\tan^2 \theta \sin^2 \theta} =4tan⁡2θ(1−cos⁡2θ)= 4 \sqrt{\tan^2 \theta (1 - \cos^2 \theta)} =4tan⁡2θ−tan⁡2θcos⁡2θ= 4 \sqrt{\tan^2 \theta - \tan^2 \theta \cos^2 \theta} =4tan⁡2θ−sin⁡2θcos⁡2θ⋅cos⁡2θ= 4 \sqrt{\tan^2 \theta - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \cdot \cos^2 \theta} =4tan⁡2θ−sin⁡2θ= 4 \sqrt{\tan^2 \theta - \sin^2 \theta} এটিকে a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) সূত্রে ভেঙে পাই, =4(tan⁡θ+sin⁡θ)(tan⁡θ−sin⁡θ)= 4 \sqrt{(\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta)} =4PQ= 4 \sqrt{PQ} =R.H.S= R.H.S ∴P2−Q2=4PQ\therefore P^2 - Q^2 = 4\sqrt{PQ} (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত ℹ️
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.দেখাও যে, tan⁡A=nm3\tan A=\sqrt[3]{\frac{n}{m}}

দেখাও যে, tan⁡A=nm3\tan A=\sqrt[3]{\frac{n}{m}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.sin⁡(4x+1)\sin (4x + 1) এর পর্যায় কত?

sin⁡(4x+1)\sin (4x + 1) এর পর্যায় কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
x=acos⁡2A+bsin⁡2Ax=a \cos^2 A+b \sin^2 A হলে, প্রমাণ কর যে, (x−a)(b−x)=(a−b)2sin⁡2Acos⁡2A(x-a)(b-x)=(a-b)^2 \sin^2 A \cos^2 A
খ
DEF অংশের ক্ষেত্রফল 13.09 হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
ACB অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.DEF অংশের ক্ষেত্রফল 13.09 হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

DEF অংশের ক্ষেত্রফল 13.09 হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.x=acos⁡2A+bsin⁡2Ax=a \cos^2 A+b \sin^2 A হলে, প্রমাণ কর যে, (x−a)(b−x)=(a−b)2sin⁡2Acos⁡2A(x-a)(b-x)=(a-b)^2 \sin^2 A \cos^2 A

x=acos⁡2A+bsin⁡2Ax=a \cos^2 A+b \sin^2 A হলে, প্রমাণ কর যে, (x−a)(b−x)=(a−b)2sin⁡2Acos⁡2A(x-a)(b-x)=(a-b)^2 \sin^2 A \cos^2 A

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image দৃশ্যকল্প-২: sin⁡C+sin⁡D=p,cos⁡C+cos⁡D=q\sin \mathrm{C}+\sin \mathrm{D}=\mathrm{p}, \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{D}=\mathrm{q}

Barisal · 2017

ক
tan⁡θ=ba\tan \theta=\frac{b}{a} হলে acos⁡θ+bsin⁡θacos⁡θ−bsin⁡θ\frac{a \cos \theta+b \sin \theta}{\mathrm{a} \cos \theta-\mathrm{b} \sin \theta} এর মান নির্ণয় কর ।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, sin⁡C−D2=±124−p2−q2\sin \frac{C-D}{2}= \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.tan⁡θ=ba\tan \theta=\frac{b}{a} হলে acos⁡θ+bsin⁡θacos⁡θ−bsin⁡θ\frac{a \cos \theta+b \sin \theta}{\mathrm{a} \cos \theta-\mathrm{b} \sin \theta} এর মান নির্ণয় কর ।

tan⁡θ=ba\tan \theta=\frac{b}{a} হলে acos⁡θ+bsin⁡θacos⁡θ−bsin⁡θ\frac{a \cos \theta+b \sin \theta}{\mathrm{a} \cos \theta-\mathrm{b} \sin \theta} এর মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Chittagong · 2017

ক
sin⁡(A−B+C)\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}) কে বিস্তৃত কর।
খ
1sec⁡A=1cosec⁡⁡C−1sec⁡B\frac{1}{\sec \mathrm{A}}=\frac{1}{\operatorname{\cosec} \mathrm{C}}-\frac{1}{\sec \mathrm{B}} হলে দৃশ্যকল্প-২ এ অঙ্কিত চিত্রের কোন কোণটি সমকোণ, নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-১ এ PEF একটি বৃত্তকলা হলে, EQRF এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.1sec⁡A=1cosec⁡⁡C−1sec⁡B\frac{1}{\sec \mathrm{A}}=\frac{1}{\operatorname{\cosec} \mathrm{C}}-\frac{1}{\sec \mathrm{B}} হলে দৃশ্যকল্প-২ এ অঙ্কিত চিত্রের কোন কোণটি সমকোণ, নির্ণয় কর।

1sec⁡A=1cosec⁡⁡C−1sec⁡B\frac{1}{\sec \mathrm{A}}=\frac{1}{\operatorname{\cosec} \mathrm{C}}-\frac{1}{\sec \mathrm{B}} হলে দৃশ্যকল্প-২ এ অঙ্কিত চিত্রের কোন কোণটি সমকোণ, নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡(A−B+C)\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}) কে বিস্তৃত কর।

sin⁡(A−B+C)\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}) কে বিস্তৃত কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Rajshahi · 2017

ক
x-এর সাপেক্ষে x\geqsin(lnx)\geqsin(lnx) এর অন্তরজ নির্ণয় কর ।
খ
উদ্দীপকের সাহায্যে মান নির্ণয় কর: cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ−2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma
গ
উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দেখাও যে, [গণিত][গণিত] (4x + 1) এর পর্যায় কত?ACB অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।DEF অংশের ক্ষেত্রফল 13.09 হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্প-১ এ PEF একটি বৃত্তকলা হলে, EQRF এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-২ এ অঙ্কিত চিত্রের কোন কোণটি সমকোণ, নির্ণয় কর।[গণিত] কে বিস্তৃত কর।উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন