Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] এবং [গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আমরা জানি, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] [যেহেতু [গণিত] এবং [গণিত] ] [গণিত] বর্গ ও ত্রিকোণমিতিক/জটিল সংখ্যার রূপান্তর ( [গণিত] ) প্রয়োগ করে পাই: [গণিত] এখন (i) নং হতে [গণিত] বসিয়ে: [গণিত] = ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Board papers CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Board papers · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে এবং এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=i−32z = i - 32 দৃশ্যকল্প-২: g(x)=a+bx+cx2g(x) = a + bx + cx^2

Combined · 2026

উত্তর

দেওয়া আছে, দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো: x2−px+q=0x^2 - px + q = 0 শর্তমতে, সমীকরণের মূলদ্বয় ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা। ধরি, সমীকরণের একটি মূল α\alpha এবং অপর মূলটি α+1\alpha + 1 মূলদ্বয়ের যোগফল, α+(α+1)=−−p1\alpha + (\alpha + 1) = - \frac{-p}{1} বা, 2α+1=p2\alpha + 1 = p মূলদ্বয়ের গুণফল, α(α+1)=q1\alpha(\alpha + 1) = \frac{q}{1} বা, α(α+1)=q\alpha(\alpha + 1) = q আমরা জানি, (মূলদ্বয়ের অন্তর)2=(মূলদ্বয়ের যোগফল)2−4×(মূলদ্বয়ের গুণফল)(\text{মূলদ্বয়ের অন্তর})^2 = (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})^2 - 4 \times (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) বা, {(α+1)−α}2=p2−4q\{(\alpha + 1) - \alpha\}^2 = p^2 - 4q বা, 12=p2−4q1^2 = p^2 - 4q বা, p2−4q=1p^2 - 4q = 1 নির্ণেয় মান: 11

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১১ হতে পাই, z=i−32=−32+iz = i - 32 = -32 + i অতএব, zz এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা, zˉ=−32−i\bar{z} = -32 - i এখন, z+zˉ=(−32+i)+(−32−i)=−64z + \bar{z} = (-32 + i) + (-32 - i) = -64 ধরি, x=z+zˉ6=−646x = \sqrt[6]{z + \bar{z}} = \sqrt[6]{-64} বা, x6=−64x^6 = -64 বা, x6+64=0x^6 + 64 = 0 বা, (x2)3+43=0(x^2)^3 + 4^3 = 0 বা, (x2+4)(x4−4x2+16)=0(x^2 + 4)(x^4 - 4x^2 + 16) = 0 [যেহেতু a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)] x4−4x2+16=0x^4 - 4x^2 + 16 = 0 এটি x2x^2-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই: x2=−(−4)±(−4)2−4⋅1⋅162⋅1x^2 = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} বা, x2=4±16−642x^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} বা, x2=4±−482x^2 = \frac{4 \pm \sqrt{-48}}{2} বা, x2=4±43i2x^2 = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}i}{2} বা, x2=2±23ix^2 = 2 \pm 2\sqrt{3}i বা, x2=3±23i−1x^2 = 3 \pm 2\sqrt{3}i - 1 বা, x2=(3)2±2⋅3⋅i+i2x^2 = (\sqrt{3})^2 \pm 2 \cdot \sqrt{3} \cdot i + i^2 [যেহেতু i2=−1i^2 = -1] বা, x2=(3±i)2x^2 = (\sqrt{3} \pm i)^2 উভয়পক্ষ থেকে বর্গমূল করে পাই, x=±(3+i)x = \pm (\sqrt{3} + i) অথবা x=±(3−i)x = \pm (\sqrt{3} - i) ∴\therefore নির্ণেয় মানসমূহ: ±2i,±(3+i),±(3−i)\pm 2i, \pm (\sqrt{3} + i), \pm (\sqrt{3} - i)

উত্তর

দেওয়া আছে, a+b+c=0  ⟹  a=−(b+c)…(i)a + b + c = 0 \implies a = -(b + c) \dots (i) আমরা জানি, ω3=1\omega^3 = 1 এবং ω2+ω=−1\omega^2 + \omega = -1 বামপক্ষ (L.H.S)\text{(L.H.S)} ={g(1ω2)}2+{g(1ω)}2= \left\{g\left(\frac{1}{\omega^2}\right)\right\}^2 + \left\{g\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^2 ={g(ω)}2+{g(ω2)}2= \{g(\omega)\}^2 + \{g(\omega^2)\}^2 [যেহেতু 1ω2=ω\frac{1}{\omega^2} = \omega এবং 1ω=ω2\frac{1}{\omega} = \omega^2] =(a+bω+cω2)2+(a+bω2+cω)2= (a + b\omega + c\omega^2)^2 + (a + b\omega^2 + c\omega)^2 বর্গ ও ত্রিকোণমিতিক/জটিল সংখ্যার রূপান্তর (ω3=1,ω2+ω=−1\omega^3=1, \omega^2+\omega=-1) প্রয়োগ করে পাই: =4a2−(b2+c2)+4bc= 4a^2 - (b^2 + c^2) + 4bc এখন (i) নং হতে b2+c2=a2−2bcb^2 + c^2 = a^2 - 2bc বসিয়ে: =4a2−(a2−2bc)+4bc= 4a^2 - (a^2 - 2bc) + 4bc =4a2−a2+2bc+4bc= 4a^2 - a^2 + 2bc + 4bc =3a2+6bc= 3a^2 + 6bc = ডানপক্ষ (R.H.S)\text{(R.H.S)} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperBoard papers
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

A=cos⁡θ,B=sin⁡θ,C=cos⁡2θ,D=sin⁡2θ\mathrm{A}=\cos \theta, \mathrm{B}=\sin \theta, \mathrm{C}=\cos 2 \theta, \mathrm{D}=\sin 2 \theta.

Dinajpur · 2017

ক
মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}.
খ
A+3B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{B}=\sqrt{2} হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।
গ
A+B=C+D\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{C}+\mathrm{D} হলে, সমীকরণটির [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] ব্যবধিতে সমাধান আছে কি-না যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.A+3B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{B}=\sqrt{2} হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

A+3B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{B}=\sqrt{2} হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}.

মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.13x2−6x−7=013x^2-6x-7=0 এর মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে, α−1+1\alpha^{-1}+1 ও β−1+1\beta^{-1}+1 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.question image চিত্র প্রর্দশিত বলত্রয় O বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, P বলটির মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.−2≤x≤3-2\leq x\leq 3 এর- i. মধ্যে 6 টি পূণ্যসংখ্যা রয়েছে ii. ঊর্ধবসীমা 15 iii. পরমআকার ∣2x−1∣≤5\vert 2x-1\vert \leq 5 নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(2x−1x2)15(2x-\frac{1}{x^2})^{15} এর বিস্তারে x12x^{12} এর সহগ কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.একটি বাক্সে ৪টি সাদা, ৩টি কালো ও ৫টি সবুজ র্মাবেল রাখা আছে। নির্বিচারে বাক্স থেকে ৩টি মার্বেল তোলা হলে মার্বেলগুলোর সম্ভাবনা- i. 3 টি সবুজ হলে 1/22 ii. 3 টি ভিন্ন রং হলে 3/11 iii. সর্বাধিক 2 টি সাদা হলে 9/11 নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x3+12x2−3x+52=04x^3+12x^2-3x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3}i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.sin⁡2θ+3sinθ=0\sin 2\theta +3sin\theta=0 হলে, θ\theta এর মান কােনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.y2−2(x+3)2=18y^2-2(x+3)^2=18 কণিকের নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও: x2=−yx^2=-yএকটি কণিক। Q. কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক কত?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] হলে, সমীকরণটির [গণিত] ব্যবধিতে সমাধান আছে কি-না যাচাই কর।[গণিত] হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।মান নির্ণয় কর: [গণিত] .[গণিত] এর মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?[চিত্র] চিত্র প্রর্দশিত বলত্রয় O বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, P বলটির মান কোনটি?[গণিত] এর- i. মধ্যে 6 টি পূণ্যসংখ্যা রয়েছে ii. ঊর্ধবসীমা 15 iii. পরমআকার [গণিত] [গণিত] এর বিস্তারে [গণিত] এর সহগ কোনটি?একটি বাক্সে ৪টি সাদা, ৩টি কালো ও ৫টি সবুজ র্মাবেল রাখা আছে। নির্বিচারে বাক্স থেক[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কােনটি?[গণিত] কণিকের নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব কোনটি?উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] একটি কণিক। Q. কণিকটির উপকেন্দ্র

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন