Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প- [গণিত] এর আলোকে [গণিত] এর সর্বোচ্চ মান লেখচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।

উত্তর: উদ্দেশ্য ফাংশন: [গণিত] শর্তসমূহ: [গণিত] লেখচিত্রে স্থাপনের জন্য (i) ও (ii) নং অসমতাকে সমীকরণ হিসেবে বিবেচনা করি: [গণিত] ম সমীকরণ: [গণিত] বা, [গণিত] এটি একটি সরলরেখা যা [গণিত] -অক্ষকে [গণিত] এবং [গণিত] -অক্ষকে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। [গণিত] য় সমীকরণ: [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এটি একটি সরলরেখা যা [গণিত] -অক্ষকে [গণিত] এবং [গণিত] -অক্ষকে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। শর্ত (iii) অনুযায়ী [গণিত] হওয়ায় সমাধান এলাকাটি শুধুমাত্র প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত হবে। অসমতা (i) ও (ii) উভয়ের ক্ষেত্রেই [গণিত] চিহ্ন থাকায়, উভয় রেখার সমাধান এলাকা মূলবিন্দুর (0,0) বিপরীত দিকে হবে। এখন, রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয় করি: [গণিত] বা, [গণিত] হলে, [গণিত] সুতরাং, রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু [গণিত] । লেখচিত্রের ধারণা থেকে দেখা যায় যে, গ্রহণযোগ্য সমাধান এলাকাটি (Feasible Region) খোলা বা অসীম এবং এর কৌণিক বিন্দুগুলো হলো [গণিত] এবং [গণিত] । এখন এই কৌণিক বিন্দুগুলোতে উদ্দেশ্য ফাংশন [গণিত] এর মান যাচাই করি: [গণিত] বিন্দুতে: [গণিত] বিন্দুতে: [গণিত] বিন্দুতে: [গণিত] প্রাপ্ত মানগুলোর মধ্যে সর্বনিম্ন মানটি হলো [গণিত] , যা [গণিত] বিন্দুতে পাওয়া যায়। নির্ণেয় সর্বনিম্ন মান: [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Board papers CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Board papers · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প- এর আলোকে এর সর্বোচ্চ মান লেখচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=x+2f(x) = x + 2, g(x)=4x+1g(x) = 4x + 1 দৃশ্যকল্প-২: z=2x+3yz = 2x + 3y শর্ত: x+y≥6x + y \ge 6, 2x+y≥82x + y \ge 8, x,y≥0x, y \ge 0

Combined · 2026

উত্তর

প্রদত্ত অসমতা, −4<3−x<8-4 < 3 - x < 8 উভয়পক্ষ থেকে 33 বিয়োগ করে পাই: −4−3<3−x−3<8−3-4 - 3 < 3 - x - 3 < 8 - 3 ⇒−7<−x<5\Rightarrow -7 < -x < 5 অসমতাকে −1-1 দ্বারা গুণ করে পাই (এক্ষেত্রে অসমতার দিক পরিবর্তন হবে): 7>x>−57 > x > -5 ⇒−5<x<7\Rightarrow -5 < x < 7 এখন, প্রাপ্ত সীমার প্রান্তিক মানদ্বয়ের গড়: −5+72=22=1\frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 অসমতার প্রতিটি পক্ষ থেকে 11 বিয়োগ করি: −5−1<x−1<7−1-5 - 1 < x - 1 < 7 - 1 ⇒−6<x−1<6\Rightarrow -6 < x - 1 < 6 ⇒∣x−1∣<6\Rightarrow \vert{}x - 1\vert{} < 6 ∴∣x−1∣<6\therefore \vert{}x - 1\vert{} < 6

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x+2f(x) = x + 2 g(x)=4x+1g(x) = 4x + 1 প্রদত্ত অসমতা, ∣f(x)∣<∣g(x)∣\vert{}f(x)\vert{} < \vert{}g(x)\vert{} বা, ∣x+2∣<∣4x+1∣\vert{}x + 2\vert{} < \vert{}4x + 1\vert{} যেহেতু পরমমান সর্বদা অঋণাত্মক, তাই উভয়পক্ষে বর্গ করলে অসমতার দিকের কোনো পরিবর্তন হবে না। বা, (x+2)2<(4x+1)2(x + 2)^2 < (4x + 1)^2 বা, x2+4x+4<16x2+8x+1x^2 + 4x + 4 < 16x^2 + 8x + 1 বা, 16x2+8x+1−x2−4x−4>016x^2 + 8x + 1 - x^2 - 4x - 4 > 0 বা, 15x2+4x−3>015x^2 + 4x - 3 > 0 বা, 15x2+9x−5x−3>015x^2 + 9x - 5x - 3 > 0 বা, 3x(5x+3)−1(5x+3)>03x(5x + 3) - 1(5x + 3) > 0 বা, (5x+3)(3x−1)>0(5x + 3)(3x - 1) > 0 এখন, (5x+3)(3x−1)=0(5x + 3)(3x - 1) = 0 হলে, x=−35x = -\frac{3}{5} এবং x=13x = \frac{1}{3} যেহেতু গুণফলটি শূন্যের চেয়ে বড় (>0> 0), তাই xx-এর মান ছোট মূলের চেয়ে ছোট অথবা বড় মূলের চেয়ে বড় হবে। অর্থাৎ, x<−35x < -\frac{3}{5} অথবা x>13x > \frac{1}{3} নির্ণেয় সমাধান: x<−35x < -\frac{3}{5} অথবা x>13x > \frac{1}{3} সমাধান সেট: S={x∈R:x<−35 অথবা x>13}S = \{x \in \mathbb{R} : x < -\frac{3}{5} \text{ অথবা } x > \frac{1}{3}\} সংখ্যারেখা: সংখ্যারেখায় −35-\frac{3}{5} এর বামদিকের এবং 13\frac{1}{3} এর ডানদিকের সকল বাস্তব সংখ্যা গাঢ় করে দেখানো হলো। x=−35x = -\frac{3}{5} এবং x=13x = \frac{1}{3} বিন্দুতে ফাঁকা বৃত্ত (Open circle)\text{(Open circle)} হবে, কারণ অসমতায় '=' চিহ্ন নেই।

উত্তর

উদ্দেশ্য ফাংশন: z=2x+3yz = 2x + 3y শর্তসমূহ: x+y≥6…(i)x + y \ge 6 \dots (i) 2x+y≥8…(ii)2x + y \ge 8 \dots (ii) x≥0,y≥0…(iii)x \ge 0, y \ge 0 \dots (iii) লেখচিত্রে স্থাপনের জন্য (i) ও (ii) নং অসমতাকে সমীকরণ হিসেবে বিবেচনা করি: ১১ম সমীকরণ: x+y=6x + y = 6 বা, x6+y6=1\frac{x}{6} + \frac{y}{6} = 1 এটি একটি সরলরেখা যা xx-অক্ষকে A(6,0)A(6, 0) এবং yy-অক্ষকে B(0,6)B(0, 6) বিন্দুতে ছেদ করে। ২২য় সমীকরণ: 2x+y=82x + y = 8 বা, 2x8+y8=1\frac{2x}{8} + \frac{y}{8} = 1 বা, x4+y8=1\frac{x}{4} + \frac{y}{8} = 1 এটি একটি সরলরেখা যা xx-অক্ষকে C(4,0)C(4, 0) এবং yy-অক্ষকে D(0,8)D(0, 8) বিন্দুতে ছেদ করে। শর্ত (iii) অনুযায়ী x≥0,y≥0x \ge 0, y \ge 0 হওয়ায় সমাধান এলাকাটি শুধুমাত্র প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত হবে। অসমতা (i) ও (ii) উভয়ের ক্ষেত্রেই ≥\ge চিহ্ন থাকায়, উভয় রেখার সমাধান এলাকা মূলবিন্দুর (0,0) বিপরীত দিকে হবে। এখন, রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয় করি: (2x+y)−(x+y)=8−6(2x + y) - (x + y) = 8 - 6 বা, x=2x = 2 x=2x = 2 হলে, 2+y=6  ⟹  y=42 + y = 6 \implies y = 4 সুতরাং, রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু E(2,4)E(2, 4)। লেখচিত্রের ধারণা থেকে দেখা যায় যে, গ্রহণযোগ্য সমাধান এলাকাটি (Feasible Region) খোলা বা অসীম এবং এর কৌণিক বিন্দুগুলো হলো A(6,0),E(2,4)A(6, 0), E(2, 4) এবং D(0,8)D(0, 8)। এখন এই কৌণিক বিন্দুগুলোতে উদ্দেশ্য ফাংশন z=2x+3yz = 2x + 3y এর মান যাচাই করি: A(6,0)\mathrm{A}(6, 0) বিন্দুতে: z=2(6)+3(0)=12+0=12z = 2(6) + 3(0) = 12 + 0 = 12 E(2,4)\mathrm{E}(2, 4) বিন্দুতে: z=2(2)+3(4)=4+12=16z = 2(2) + 3(4) = 4 + 12 = 16 D(0,8)\mathrm{D}(0, 8) বিন্দুতে: z=2(0)+3(8)=0+24=24z = 2(0) + 3(8) = 0 + 24 = 24 প্রাপ্ত মানগুলোর মধ্যে সর্বনিম্ন মানটি হলো 1212, যা A(6,0)A(6, 0) বিন্দুতে পাওয়া যায়। নির্ণেয় সর্বনিম্ন মান: 1212
HSCHigher Math 2nd PaperBoard papers
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

A=cos⁡θ,B=sin⁡θ,C=cos⁡2θ,D=sin⁡2θ\mathrm{A}=\cos \theta, \mathrm{B}=\sin \theta, \mathrm{C}=\cos 2 \theta, \mathrm{D}=\sin 2 \theta.

Dinajpur · 2017

ক
মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}.
খ
A+3B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{B}=\sqrt{2} হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।
গ
A+B=C+D\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{C}+\mathrm{D} হলে, সমীকরণটির [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] ব্যবধিতে সমাধান আছে কি-না যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.A+3B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{B}=\sqrt{2} হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

A+3B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{B}=\sqrt{2} হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}.

মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.13x2−6x−7=013x^2-6x-7=0 এর মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে, α−1+1\alpha^{-1}+1 ও β−1+1\beta^{-1}+1 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.question image চিত্র প্রর্দশিত বলত্রয় O বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, P বলটির মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.−2≤x≤3-2\leq x\leq 3 এর- i. মধ্যে 6 টি পূণ্যসংখ্যা রয়েছে ii. ঊর্ধবসীমা 15 iii. পরমআকার ∣2x−1∣≤5\vert 2x-1\vert \leq 5 নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(2x−1x2)15(2x-\frac{1}{x^2})^{15} এর বিস্তারে x12x^{12} এর সহগ কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.একটি বাক্সে ৪টি সাদা, ৩টি কালো ও ৫টি সবুজ র্মাবেল রাখা আছে। নির্বিচারে বাক্স থেকে ৩টি মার্বেল তোলা হলে মার্বেলগুলোর সম্ভাবনা- i. 3 টি সবুজ হলে 1/22 ii. 3 টি ভিন্ন রং হলে 3/11 iii. সর্বাধিক 2 টি সাদা হলে 9/11 নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x3+12x2−3x+52=04x^3+12x^2-3x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3}i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.sin⁡2θ+3sinθ=0\sin 2\theta +3sin\theta=0 হলে, θ\theta এর মান কােনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.y2−2(x+3)2=18y^2-2(x+3)^2=18 কণিকের নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও: x2=−yx^2=-yএকটি কণিক। Q. কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক কত?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] হলে, সমীকরণটির [গণিত] ব্যবধিতে সমাধান আছে কি-না যাচাই কর।[গণিত] হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।মান নির্ণয় কর: [গণিত] .[গণিত] এর মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?[চিত্র] চিত্র প্রর্দশিত বলত্রয় O বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, P বলটির মান কোনটি?[গণিত] এর- i. মধ্যে 6 টি পূণ্যসংখ্যা রয়েছে ii. ঊর্ধবসীমা 15 iii. পরমআকার [গণিত] [গণিত] এর বিস্তারে [গণিত] এর সহগ কোনটি?একটি বাক্সে ৪টি সাদা, ৩টি কালো ও ৫টি সবুজ র্মাবেল রাখা আছে। নির্বিচারে বাক্স থেক[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কােনটি?[গণিত] কণিকের নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব কোনটি?উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] একটি কণিক। Q. কণিকটির উপকেন্দ্র

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন