Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২: কণিকাটি [গণিত] বিন্দুগামী হলে কণিকের সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র হতে দেখা যায়, কনিকটি একটি উপবৃত্ত যার কেন্দ্র মূলবিন্দু [গণিত] এবং উপকেন্দ্রদ্বয় [গণিত] ও সন্তোষজনকভাবে [গণিত] -অক্ষের উপর অবস্থিত। ধري, উপবৃত্তের সমীকরণ: [গণিত] এখানে কেন্দ্র থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্ব, [গণিত] আমরা জানি, উপবৃত্তের ক্ষেত্রে [গণিত] তাহলে উপবৃত্তের সমীকরণটি দাঁড়ায়: [গণিত] উপবৃত্তটি [গণিত] বিন্দুগামী হওয়ায় সমীকরণে বিন্দুটি বসিয়ে পাই: [গণিত] উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই: [গণিত] [উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] যেহেতু [গণিত] ঋণাত্মক হতে পারে না ( [গণিত] ), তাই: [গণিত] এখন [গণিত] ও [গণিত] এর মান উপবৃত্তের সমীকরণে বসাই: [গণিত] নির্ণেয় সমীকরণ: [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Board papers CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Board papers · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২: কণিকাটি বিন্দুগামী হলে কণিকের সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=x2−8x+my+7f(x) = x^2 - 8x + my + 7 দৃশ্যকল্প-২: question image

Combined · 2026

উত্তর

প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ: 9x2−4y2=−369x^2 - 4y^2 = -36 উভয়পক্ষকে −36-36 দ্বারা ভাগ করে আদর্শ আকারে রূপান্তর করি: 9x2−36−4y2−36=1\frac{9x^2}{-36} - \frac{4y^2}{-36} = 1   ⟹  y29−x24=1\implies \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1 এখানে, a2=4a^2 = 4 এবং b2=9b^2 = 9 (যেহেতু এটি yy-অক্ষ বরাবর অধিবৃত্ত)। আমরা জানি, এই ধরণের অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য =2a2b= \frac{2a^2}{b} =2×43=83= \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3} নির্ণেয় দৈর্ঘ্য: 83\frac{8}{3} একক

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, f(x)=x2−8x+my+7=0f(x) = x^2 - 8x + my + 7 = 0   ⟹  x2−8x+16=−my−7+16\implies x^2 - 8x + 16 = -my - 7 + 16   ⟹  (x−4)2=−my+9\implies (x - 4)^2 = -my + 9   ⟹  (x−4)2=−m(y−9m)\implies (x - 4)^2 = -m\left(y - \frac{9}{m}\right) এটি পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ (x−h)2=4a(y−k)(x - h)^2 = 4a(y - k) এর সাথে তুলনামূলকভাবে পাই, শীর্ষবিন্দু (h,k)=(4,9m)(h, k) = \left(4, \frac{9}{m}\right) এবং 4a=−m  ⟹  a=−m44a = -m \implies a = -\frac{m}{4} পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক =(h,k+a)=(4,9m−m4)= \left(h, k + a\right) = \left(4, \frac{9}{m} - \frac{m}{4}\right) শর্তমতে, উপকেন্দ্রটি (4,6)(4, 6)। সুতরাং, 9m−m4=6\frac{9}{m} - \frac{m}{4} = 6   ⟹  36−m24m=6\implies \frac{36 - m^2}{4m} = 6   ⟹  36−m2=24m\implies 36 - m^2 = 24m   ⟹  m2+24m−36=0\implies m^2 + 24m - 36 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে mm এর মান নির্ণয় করি: m=−24±(24)2−4⋅1⋅(−36)2⋅1m = \frac{-24 \pm \sqrt{(24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} =−24±576+1442= \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 144}}{2} =−24±7202= \frac{-24 \pm \sqrt{720}}{2} =−24±1252= \frac{-24 \pm 12\sqrt{5}}{2} =−12±65= -12 \pm 6\sqrt{5} ∴\therefore নির্ণেয় মান: m=−12±65m = -12 \pm 6\sqrt{5}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র হতে দেখা যায়, কনিকটি একটি উপবৃত্ত যার কেন্দ্র মূলবিন্দু (0,0)(0, 0) এবং উপকেন্দ্রদ্বয় S(2,0)S(2, 0) ও সন্তোষজনকভাবে xx-অক্ষের উপর অবস্থিত। ধري, উপবৃত্তের সমীকরণ: x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 এখানে কেন্দ্র থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্ব, ae=2  ⟹  a2e2=4ae = 2 \implies a^2e^2 = 4 আমরা জানি, উপবৃত্তের ক্ষেত্রে b2=a2(1−e2)=a2−a2e2=a2−4b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2 = a^2 - 4   ⟹  a2=b2+4\implies a^2 = b^2 + 4 তাহলে উপবৃত্তের সমীকরণটি দাঁড়ায়: x2b2+4+y2b2=1\frac{x^2}{b^2 + 4} + \frac{y^2}{b^2} = 1 উপবৃত্তটি (32,152)\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right) বিন্দুগামী হওয়ায় সমীকরণে বিন্দুটি বসিয়ে পাই: (32)2b2+4+(152)2b2=1\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{b^2 + 4} + \frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2}{b^2} = 1   ⟹  94(b2+4)+154b2=1\implies \frac{9}{4(b^2 + 4)} + \frac{15}{4b^2} = 1 উভয়পক্ষকে 4b2(b2+4)4b^2(b^2 + 4) দ্বারা গুণ করে পাই: 9b2+15(b2+4)=4b2(b2+4)9b^2 + 15(b^2 + 4) = 4b^2(b^2 + 4)   ⟹  24b2+60=4b4+16b2\implies 24b^2 + 60 = 4b^4 + 16b^2   ⟹  4b4−8b2−60=0\implies 4b^4 - 8b^2 - 60 = 0   ⟹  b4−2b2−15=0\implies b^4 - 2b^2 - 15 = 0 [উভয়পক্ষকে 44 দ্বারা ভাগ করে]   ⟹  (b2−5)(b2+3)=0\implies (b^2 - 5)(b^2 + 3) = 0 যেহেতু b2b^2 ঋণাত্মক হতে পারে না (b2≠−3b^2 \neq -3), তাই: b2=5b^2 = 5 ∴a2=b2+4=5+4=9\therefore a^2 = b^2 + 4 = 5 + 4 = 9 এখন a2a^2 ও b2b^2 এর মান উপবৃত্তের সমীকরণে বসাই: x29+y25=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1   ⟹  5x2+9y2=45\implies 5x^2 + 9y^2 = 45 ∴\therefore নির্ণেয় সমীকরণ: 5x2+9y2=455x^2 + 9y^2 = 45
HSCHigher Math 2nd PaperBoard papers
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

A=cos⁡θ,B=sin⁡θ,C=cos⁡2θ,D=sin⁡2θ\mathrm{A}=\cos \theta, \mathrm{B}=\sin \theta, \mathrm{C}=\cos 2 \theta, \mathrm{D}=\sin 2 \theta.

Dinajpur · 2017

ক
মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}.
খ
A+3B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{B}=\sqrt{2} হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।
গ
A+B=C+D\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{C}+\mathrm{D} হলে, সমীকরণটির [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] ব্যবধিতে সমাধান আছে কি-না যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.A+3B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{B}=\sqrt{2} হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

A+3B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{B}=\sqrt{2} হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}.

মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.13x2−6x−7=013x^2-6x-7=0 এর মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে, α−1+1\alpha^{-1}+1 ও β−1+1\beta^{-1}+1 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.question image চিত্র প্রর্দশিত বলত্রয় O বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, P বলটির মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.−2≤x≤3-2\leq x\leq 3 এর- i. মধ্যে 6 টি পূণ্যসংখ্যা রয়েছে ii. ঊর্ধবসীমা 15 iii. পরমআকার ∣2x−1∣≤5\vert 2x-1\vert \leq 5 নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(2x−1x2)15(2x-\frac{1}{x^2})^{15} এর বিস্তারে x12x^{12} এর সহগ কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.একটি বাক্সে ৪টি সাদা, ৩টি কালো ও ৫টি সবুজ র্মাবেল রাখা আছে। নির্বিচারে বাক্স থেকে ৩টি মার্বেল তোলা হলে মার্বেলগুলোর সম্ভাবনা- i. 3 টি সবুজ হলে 1/22 ii. 3 টি ভিন্ন রং হলে 3/11 iii. সর্বাধিক 2 টি সাদা হলে 9/11 নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x3+12x2−3x+52=04x^3+12x^2-3x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3}i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.sin⁡2θ+3sinθ=0\sin 2\theta +3sin\theta=0 হলে, θ\theta এর মান কােনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.y2−2(x+3)2=18y^2-2(x+3)^2=18 কণিকের নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও: x2=−yx^2=-yএকটি কণিক। Q. কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক কত?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] হলে, সমীকরণটির [গণিত] ব্যবধিতে সমাধান আছে কি-না যাচাই কর।[গণিত] হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।মান নির্ণয় কর: [গণিত] .[গণিত] এর মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?[চিত্র] চিত্র প্রর্দশিত বলত্রয় O বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, P বলটির মান কোনটি?[গণিত] এর- i. মধ্যে 6 টি পূণ্যসংখ্যা রয়েছে ii. ঊর্ধবসীমা 15 iii. পরমআকার [গণিত] [গণিত] এর বিস্তারে [গণিত] এর সহগ কোনটি?একটি বাক্সে ৪টি সাদা, ৩টি কালো ও ৫টি সবুজ র্মাবেল রাখা আছে। নির্বিচারে বাক্স থেক[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কােনটি?[গণিত] কণিকের নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব কোনটি?উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] একটি কণিক। Q. কণিকটির উপকেন্দ্র

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন