Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [যোজন-বিয়োজন করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গমূল করে] বা, [গণিত] [যোজন-বিয়োজন করে] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 11 : বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 11 : বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ করো যে, .

উদ্দীপক

M=x+3px−3p\mathrm{M} = \frac{\mathrm{x}+3\mathrm{p}}{\mathrm{x}-3\mathrm{p}}, N=x+3qx−3q\mathrm{N} = \frac{\mathrm{x}+3\mathrm{q}}{\mathrm{x}-3\mathrm{q}} এবং a2b+2a+b=0\mathrm{a}^2\mathrm{b} + 2\mathrm{a} + \mathrm{b} = 0.

Barisal · 2026

উত্তর

দেওয়া আছে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী অর্থাৎ, p:q=q:r\mathrm{p}:\mathrm{q} = \mathrm{q}:\mathrm{r} বা, pq=qr\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}} = \frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}} ∴q2=pr\therefore \mathrm{q}^2 = \mathrm{pr} বামপক্ষ, =p2+q2q2+r2=p2+prpr+r2=p(p+r)r(p+r)=pr= \frac{\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2}{\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2} = \frac{\mathrm{p}^2+\mathrm{pr}}{\mathrm{pr}+\mathrm{r}^2} = \frac{\mathrm{p}(\mathrm{p}+\mathrm{r})}{\mathrm{r}(\mathrm{p}+\mathrm{r})} = \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}} ডানপক্ষ, =(p+q)2(q+r)2=p2+2pq+q2q2+2qr+r2=p2+2pq+prpr+2qr+r2=p(p+2q+r)r(p+2q+r)=pr= \frac{(\mathrm{p}+\mathrm{q})^2}{(\mathrm{q}+\mathrm{r})^2} = \frac{\mathrm{p}^2+2\mathrm{pq}+\mathrm{q}^2}{\mathrm{q}^2+2\mathrm{qr}+\mathrm{r}^2} = \frac{\mathrm{p}^2+2\mathrm{pq}+\mathrm{pr}}{\mathrm{pr}+2\mathrm{qr}+\mathrm{r}^2} = \frac{\mathrm{p}(\mathrm{p}+2\mathrm{q}+\mathrm{r})}{\mathrm{r}(\mathrm{p}+2\mathrm{q}+\mathrm{r})} = \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}} ∴p2+q2q2+r2=(p+q)2(q+r)2\therefore \frac{\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2}{\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2} = \frac{(\mathrm{p}+\mathrm{q})^2}{(\mathrm{q}+\mathrm{r})^2} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, M=x+3px−3p\mathrm{M} = \frac{\mathrm{x}+3\mathrm{p}}{\mathrm{x}-3\mathrm{p}}, N=x+3qx−3q\mathrm{N} = \frac{\mathrm{x}+3\mathrm{q}}{\mathrm{x}-3\mathrm{q}} এখন, M+N=2\mathrm{M} + \mathrm{N} = 2 হলে, x+3px−3p+x+3qx−3q=2\frac{\mathrm{x}+3\mathrm{p}}{\mathrm{x}-3\mathrm{p}} + \frac{\mathrm{x}+3\mathrm{q}}{\mathrm{x}-3\mathrm{q}} = 2 বা, (x+3p)(x−3q)+(x+3q)(x−3p)(x−3p)(x−3q)=2\frac{(\mathrm{x}+3\mathrm{p})(\mathrm{x}-3\mathrm{q})+(\mathrm{x}+3\mathrm{q})(\mathrm{x}-3\mathrm{p})}{(\mathrm{x}-3\mathrm{p})(\mathrm{x}-3\mathrm{q})} = 2 বা, x2−3qx+3px−9pq+x2−3px+3qx−9pqx2−3qx−3px+9pq=2\frac{\mathrm{x}^2-3\mathrm{qx}+3\mathrm{px}-9\mathrm{pq}+\mathrm{x}^2-3\mathrm{px}+3\mathrm{qx}-9\mathrm{pq}}{\mathrm{x}^2-3\mathrm{qx}-3\mathrm{px}+9\mathrm{pq}} = 2 বা, 2x2−18pq=2x2−6qx−6px+18pq2\mathrm{x}^2 - 18\mathrm{pq} = 2\mathrm{x}^2 - 6\mathrm{qx} - 6\mathrm{px} + 18\mathrm{pq} বা, −36pq=−6qx−6px-36\mathrm{pq} = -6\mathrm{qx} - 6\mathrm{px} বা, −36pq=−6x(p+q)-36\mathrm{pq} = -6\mathrm{x}(\mathrm{p}+\mathrm{q}) বা, 6pq=x(p+q)6\mathrm{pq} = \mathrm{x}(\mathrm{p}+\mathrm{q}) বা, 6x=p+qpq\frac{6}{\mathrm{x}} = \frac{\mathrm{p}+\mathrm{q}}{\mathrm{pq}} বা, 6x=ppq+qpq\frac{6}{\mathrm{x}} = \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{pq}}+\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{pq}} বা, 6x=1p+1q\frac{6}{\mathrm{x}} = \frac{1}{\mathrm{p}}+\frac{1}{\mathrm{q}} ∴6x−1=p−1+q−1\therefore 6\mathrm{x}^{-1} = \mathrm{p}^{-1}+\mathrm{q}^{-1} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, a2b−2a+b=0\mathrm{a}^2\mathrm{b} - 2\mathrm{a} + \mathrm{b} = 0 বা, a2b+b=2a\mathrm{a}^2\mathrm{b} + \mathrm{b} = 2\mathrm{a} বা, b(a2+1)=2a\mathrm{b}(\mathrm{a}^2+1) = 2\mathrm{a} বা, a2+12a=1b\frac{\mathrm{a}^2+1}{2\mathrm{a}} = \frac{1}{\mathrm{b}} বা, a2+1+2aa2+1−2a=1+b1−b\frac{\mathrm{a}^2+1+2\mathrm{a}}{\mathrm{a}^2+1-2\mathrm{a}} = \frac{1+\mathrm{b}}{1-\mathrm{b}} [যোজন-বিয়োজন করে] বা, (a+1)2(a−1)2=1+b1−b\frac{(\mathrm{a}+1)^2}{(\mathrm{a}-1)^2} = \frac{1+\mathrm{b}}{1-\mathrm{b}} বা, a+1a−1=1+b1−b\frac{\mathrm{a}+1}{\mathrm{a}-1} = \frac{\sqrt{1+\mathrm{b}}}{\sqrt{1-\mathrm{b}}} [বর্গমূল করে] বা, a+1+a−1a+1−a+1=1+b+1−b1+b−1−b\frac{\mathrm{a}+1+\mathrm{a}-1}{\mathrm{a}+1-\mathrm{a}+1} = \frac{\sqrt{1+\mathrm{b}}+\sqrt{1-\mathrm{b}}}{\sqrt{1+\mathrm{b}}-\sqrt{1-\mathrm{b}}} [যোজন-বিয়োজন করে] বা, 2a2=1+b+1−b1+b−1−b\frac{2\mathrm{a}}{2} = \frac{\sqrt{1+\mathrm{b}}+\sqrt{1-\mathrm{b}}}{\sqrt{1+\mathrm{b}}-\sqrt{1-\mathrm{b}}} ∴a=1+b+1−b1+b−1−b\therefore \mathrm{a} = \frac{\sqrt{1+\mathrm{b}}+\sqrt{1-\mathrm{b}}}{\sqrt{1+\mathrm{b}}-\sqrt{1-\mathrm{b}}}. (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 11 : বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.রনি, রিংকু এবং রোহানের মধ্যে 468 টাকা এমনভাবে ভাগ করে দাও যেন রনির ভাগের দ্বিগুণ, রিংকুর ভাগের 3 গুণ এবং রোহানের ভাগের 4 গুণ পরস্পরের সমান হয়।

রনি, রিংকু এবং রোহানের মধ্যে 468 টাকা এমনভাবে ভাগ করে দাও যেন রনির ভাগের দ্বিগুণ, রিংকুর ভাগের 3 গুণ এবং রোহানের ভাগের 4 গুণ পরস্পরের সমান হয়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.এমন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় 50° ও 40° এবং পরিসীমা 10 সে.মি.।

এমন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় 50° ও 40° এবং পরিসীমা 10 সে.মি.।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.xy=a2b2\frac{x}{y}=\frac{a^2}{b^2} এবং ab=a+ya−y\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{a+y}}{\sqrt{a-y}} হলে দেখাও যে, x+ya=x−yy\frac{x+y}{a}=\frac{x-y}{y}.

xy=a2b2\frac{x}{y}=\frac{a^2}{b^2} এবং ab=a+ya−y\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{a+y}}{\sqrt{a-y}} হলে দেখাও যে, x+ya=x−yy\frac{x+y}{a}=\frac{x-y}{y}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 20% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফল কত শতাংশ হ্রাস বা বৃদ্ধি পাবে?

কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 20% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফল কত শতাংশ হ্রাস বা বৃদ্ধি পাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.যদি x2=4+23x^2=4+2 \sqrt{3} হয়, তবে x+1xx+\frac{1}{x} এর মান নির্ণয় করো।

যদি x2=4+23x^2=4+2 \sqrt{3} হয়, তবে x+1xx+\frac{1}{x} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 20% বৃদ্ধি করলে দেখাও যে, তার ক্ষেত্রফল 44% বৃদ্ধি পায়?

বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 20% বৃদ্ধি করলে দেখাও যে, তার ক্ষেত্রফল 44% বৃদ্ধি পায়?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.8x−1=a−1+b−18 x^{-1}=a^{-1}+b^{-1} হলে দেখাও যে, x=8aba+bx=\frac{8 a b}{a+b}.

8x−1=a−1+b−18 x^{-1}=a^{-1}+b^{-1} হলে দেখাও যে, x=8aba+bx=\frac{8 a b}{a+b}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য চারগুণ করলে, এর ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে তা নির্ণয় করো।

একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য চারগুণ করলে, এর ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.যদি একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 25%\mathbf{2 5 \%} বৃদ্ধি পায়, তবে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কতভাগ বৃদ্ধি পাবে?

যদি একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 25%\mathbf{2 5 \%} বৃদ্ধি পায়, তবে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কতভাগ বৃদ্ধি পাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.a,b,ca, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে \frac{(a+b)^2}{(b+c}^2} এর মান নির্ণয় করো ।

a,b,ca, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে \frac{(a+b)^2}{(b+c}^2} এর মান নির্ণয় করো ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত 7: 2 এবং 5 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৪: 3. বর্তমানে তাদের বয়স কত?

পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত 7: 2 এবং 5 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৪: 3. বর্তমানে তাদের বয়স কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস পায়। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত ভাগ বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়?

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস পায়। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত ভাগ বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

রনি, রিংকু এবং রোহানের মধ্যে 468 টাকা এমনভাবে ভাগ করে দাও যেন রনির ভাগের দ্বিগুণএমন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় 50° ও 40° এবং পরিসীমা 10 সে.ম[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 20% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফল কত শতাংযদি [গণিত] হয়, তবে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 20% বৃদ্ধি করলে দেখাও যে, তার ক্ষেত্রফল 44% বৃদ্ধি পায়?[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য চারগুণ করলে, এর ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে তা নির্ণয়যদি একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য [গণিত] বৃদ্ধি পায়, তবে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত[গণিত] ক্রমিক সমানুপাতী হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো ।পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত 7: 2 এবং 5 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৪: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস পায়। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন